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——中小學數學競賽愛好者和大學生适合練習的高難六宮數獨（第05題）

在家上網課、看好書之餘，解答數獨題，也是休閑娛樂、健腦益智的好途徑。

圖M1是一個六宮數獨遊戲，它有六行、六列，A、B行的123列組成第一宮，456列組成第二宮，C、D行左右各六格組成第三、第四宮，E、F行左右又有第五宮、第六宮。我們要在空格中填入1~6的整數，與已知的數字一起，使每行、每列、每宮的數字都不重複，即為所謂的數獨。

六宮數獨，粗看好像較為簡單，但依據已知的數字的多少和布局的情況，也有較難的，例如圖M1的題目，我們現在就開始解這道題。有些經驗但還不太熟練者可從文末的M1的簡化版M2開始做題，初學者也可由M2的進一步簡化版M3着手。

由圖M1，E3所在的E行和3列已經有13456這五個數字，按照數獨的規則，E3就是2，這是唯一數法，如圖01。

在圖01中，又用唯一數法，A3所在的A行和3列已有數字12346，可見A3必為5，即有圖02。

對于圖02，讨論第六宮。A4為6使E4與F4不是6，C6為6因而F6不為6，第六宮中隻有E5是6，這是行列排除法，就得到圖03。

看圖03，E2所屬的第五宮和E行已有12356，E2隻好為4。而C3是3行的唯一宮格，故C3為3。都用到唯一數法，就有圖04。

圖04中，C3為3故C4與C5不是3，E3為3則D6不是3，第四宮隻有D4=3。又A2為3使F2不是3，第五宮中必須是F1=3。又是行列排除法，即為圖05。

觀察圖05，第五宮中的唯一空格F2必為6，E行的唯一空格定是1，這又用到唯一數法，如圖06。

而圖06的第一宮中，仍用行列排除法，A4為6因此A1不是6，F2為6可見B2不是6，隻能是B2為6，就是圖07。

看圖07的第二宮，A2為3則A5與A6不是3，D4為3故B4不是3，E6為3從而B6不是3，可知B5=3，就在圖08中。

到了這一步，常規的解法就無法繼續了，要采用候選數法這種升級的技巧來解決問題。在每個空格中填入小字體的數字1~6，再按每行、每列、每宮中已經知道的數字劃去小字體中重複的數，就得所謂的候選數，如圖09。

候選數法之所以功能更強大，是因為它把空格隐含的數字信息充分發掘出來。具體的實現形式也多種多樣，這裡采用一種看似編程算法的邏輯推理表達式來讨論關鍵點B2（需要嘗試尋找）的兩個候選數的去留情況：

＋2[B2]－2[D2]＋5[D2]－5[D6]＋24[D6|F6]－24[A6]＋1[A6]－1[A1]＋2[A1]－2[B2]

分段解釋：

＋2[B2]－2[D2] 假設B2為2，則同在2列的D2不是2；

＋5[D2]－5[D6] D2隻能為5，則同在D行的D6不是5；

＋24[D6|F6]－24[A6] D6與F6就成為恰好含有2和4的數對，這種結構特别穩固，即6列中不能再在别處有2或4，則A6要去掉2和4；

＋1[A6]－1[A1] A6隻好為1，則同在A行的A1不能是1；

＋2[A1]－2[B2] A1隻能為2，這就推翻了B2是2的假設。

可見，B2不是2，B2必須是1，删除第一宮、B行、2列的多餘候選數1，就有圖10。就本題而言，後面沒有什麼太難的地方，可以閑庭信步了。

考慮圖10，C2與D2構成候選數為2和5的數對，則第三宮中的2和5必在C2與D2之中，C1與D1都要删去候選數2，就是圖11了。

而圖11裡，A1的候選數隻有2，故A1為2，這稱為唯一候選數，比前面的唯一數法還要直接了當，無需再看所在行、列或宮的其他數。D1的候選數隻剩4，可見D1是4。清除相關行、列、宮的多餘候選數，參見圖12。

對圖12來說，B6與D6是候選數為2和5的數對，因此F6要去掉候選數2，得到圖13。

圖13中，A5、C1、F6處都是唯一候選數，顯然A5=4，C1=1，F6=4，清理相應行、列、宮中多餘的候選數，就有圖14。

請看圖14，雖然C4有三個候選數245，但其中的4是第四宮中唯一為4的候選數，且已知數也不含4，可見C4為4，這是隐形唯一候選數。又A6、C5、F4都有唯一候選數，故A6為1，C5為2，F4為2。删去相關多餘的候選數，得圖15。

在圖15中，B4、C2、D6處有唯一候選數5，B6、D2都有隐形唯一候選數2，所以B4、C2、D6都為5，B6、D2都是2，如圖16，即是圖M1這道題的解答。

做完題目，還需驗證每行、每列、每宮數字的唯一性，才算大功告成。按數獨的要求，答案還必須是唯一的，這就排除了一些多答案的另類情形。

本題用候選數法解決最關鍵的步驟，要用敏銳的觀察來尋找突破口。而數獨遊戲的魅力就是經常有多樣的解法，這裡提供另一種思路。

回到圖09，我們也可以這樣推理：

＋2[A5]－2[A1]＋1[A1]－1[C1]＋24[C1|C5]－24[C4]＋5[C4]－5[B4]＋2[B4]－2[A5]

上式的意思是：假設A5為2，則A1不是2；A1隻能為1，故C1不是1，C1與C5構成包含2和4的數對，則C4不含2和4；C4隻好為5，則B4不能是5；B4隻有等于2，這與A5為2的假設矛盾。從而A5不是2，A5必是4。讀者可以驗證，接着的解題過程還是比較輕松的。

解決了最重要的問題後，再用候選數，就沒什麼挑戰性了。我們可以把圖10中的候選數撤掉，變成圖M2。

有一定經驗但還需強化練習者可從這裡開始用常規的方法做下去，還能增加一些遊戲的趣味性。

圖M2再解下去，就得到更簡單的圖M3，初學者也可在此起步做題。

從中小學到大學，大部分學生在學習數學時由于種種原因隻學會套用理論解題，在邏輯推理方面的練習相對比較缺乏。數獨遊戲恰好就經常要在推斷中尋求解題的辦法，通過做數獨題，能讓廣大學子在放松身心的同時，也可順便補充推理方面的訓練。建議中小學數學競賽愛好者和大學生多做這種較難的六宮數獨，并把一些解題技巧移植到标準九宮數獨中。

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