這是北京中考數學的一道壓軸題，老黃覺得題目出得特别有水平，能夠真正考察考生的數學能力，需要即時為題目建立起一個數學模型，不然就很容易出錯。我們一起來看看題目吧！

在平面直角坐标系xOy中的點P和圖形M，給出如下的定義：假設在圖形M上存在一點Q，使得P, Q兩點間的距離小于或等于1，那麼稱P為圖形M的關聯點.

(1)當⊙O的半徑為2時，

①在點P1(1/2,0), P2(1/2,根号3/2), P3(5/2,0)中, ⊙O的關聯點是______.

②點P在直線y=-x上，假設P為⊙O的關聯點，求P的橫坐标取值範圍.

(2)⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=-x 1與x軸, y軸交于點A, B. 假設線段AB上的所有點都是⊙C的關聯點，直接寫出C的橫坐标取值範圍.

分析：(1)①第一小題的第一個問題很好解決，有很多不同的方法可以得到答案。但是我們應該尋找一種方法，為它建立一個模型，以便解決後面兩個問題。假如隻是為了解決第一個問題，而對後面兩個問題沒有幫助的話，那後面兩個小題就要花很多時間，而且還容易出錯。

那麼到底應該怎麼建立，或者說要建立什麼樣的數學模型呢？最好的辦法，就是畫草圖來幫助理解。畢竟“有圖有真相嘛”，如下圖：

一目了然，⊙O的關聯點都在藍色的圓環内部。即點P到點O的距離OP在1到3之間，包括1和3，即1≤OP≤3. 這就是這道題的數學模型的一個部分，下面兩題也都要用到這個模型。

接下來我們可以通過檢驗OP１＝1/2<1，就知道點P1不是⊙O的關聯點；而OP2=1，OP3=5/2，都在1到3之間，所以⊙O的關聯點是P2和P3.

②繼續看第二個問：運用上面的數學模型，得到的圖形如下：

可以發現，點P在第二象限時，OP=根号2 x, 點P在第四象限時，OP=-根号2 x。根據它們在1到3之間列不等式，就可以求得點C的橫坐标的取值範圍。解題過程如下：

解：(1)設②P(x,-x), 由1≤|OP|≤3, 有1≤根号2 x≤3或1≤-根号2 x≤3，

解得根号2/2≤x≤3根号2/2或-3根号2/2≤x≤-根号2/2.

第二個問關鍵的地方是，點P有兩種情形，即在圓心O的左側或右側。已知圓的關聯點在與圓同心，且r=1, R=3的圓環内，表示為關聯點到圓心的距離在1到3之間，包括1和3。且分布在圓心的兩側，就是我們建立的這個數學模型的全部了。

(2)凡是壓軸題要求直接寫出結果的，你一個字也不要信它。我們可以設C點的坐标為(x,0)，然後表示出AC=|x-1|，和BC=根号(x^2 1)。

接下來我們作出AB在圓心C右側的情形，這時，點C到AB的最小距離必須不小于1，這個最小距離等于AC除以根号2。另外，AC，和BC都必須不大于3.即

根号2 (1-2)/2>=1, 1-x<=3, 根号(x^2 1)<=3,

分别解得x<=1-根号2，x>=-2和-2根号2<=x<=2根号2。取交集，就得到-2≤x≤1-根号2。

再看AB在點C的左側的情形，此時點C到AB最短距離不在線段AB上，所以不用考慮最短距離。而BC顯然大于AC，所以隻要AC不小于1，且BC不大于3，即x-1>=1, 根号(x^2 1)<=3，解得2≤x≤2根号2.

綜上，C的橫坐标取值範圍為-2≤x≤1-根号或2≤x≤2根号2.

你對這道題有什麼看法和想法，歡迎在評論區中留言，一起探讨一下！

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