阿基米德(Archimedes，公元前287~公元前212年，古希臘)是有史以來最偉大的數學家之一。他與牛頓、高斯并稱為三大數學家。

如右圖所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB BD。

定義:從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

方法1：補短法1

如圖，延長DB至F，使BF=BA

∵M是弧ABC的中點

如圖，延長DB至F，使BF=BA

∴∠MCA=∠MAC=∠MBC

∵MBAC四點共圓

∴∠MCA ∠MBA=180°

∵∠MBC ∠MBF=180°

∴∠MBA=∠MBF

∵MB=MB,BF=BA

∴△MBF≌△MBA

∴∠F=∠MAB=∠MCB

∴MF=MC

∵MD⊥CF

∴CD=DF=DB BF=AB BD

方法2：補短法2

延長AB到E，使BE=BD

∵M是弧AB中點，

∴∠MBC=∠MAC=∠MCA

∵M,B,A,C四點共圓

∴∠MCA ∠MBA=180°

∵∠MBE ∠MBA=180°

∴∠MCA=∠MBE

∴∠MBC=∠MBE

∵BE=BD,MB=MB

∴△EBM≅△DBM

∴∠E=∠MDC=90°,ME=MD

又∵MA=MC

∴△MEA≅△MDC

∴DC=AE=AB BE=AB BD

方法3:截長法1

如圖，在CD上截取DG=DB

∵MD⊥BG

∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

∵M是弧ABC的中點

∴∠MAC=∠MCA=∠MGB

即∠MGB=∠MCB ∠BCA=∠MCB ∠BMA

又∠MGB=∠MCB ∠GMC

∴∠BMA=∠GMC

∵MA=MC

∴△MBA≌△MGC(SAS)

∴AB=GC

∴CD=CG GD=AB BD

方法4:截長法2

如圖，在CD上截取CG=AB

∵M是弧ABC的中點

∴MA=MC

∵∠BAM=∠BCM

∴△MBA≌△MGC(SAS)

∴MB=MG

∵MD⊥BG

∴BD=DG

∴CD=CG GD=AB BD

如圖，作MH⊥射線AB，垂足為H。

∵M是弧ABC的中點

∴MA=MC

∵MD⊥BC

∴∠MDC=90°=∠H

∵∠MAB=∠MCB

∴△MHA≌△MDC(AAS)

∴AH=CD，MH=MD

又∵MB=MB

∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)

∴HB=BD

∴CD=AH=AB BH=AB BD

方法6：圓周角法

延長MD交圓O于E,連接EC,EA,

延長EA交CB延長線于F.

∵M為AMC中點

∴∠1=∠2

∵ MD⊥BC

∴∠EDF=∠EDC=90°,

∵ED=ED

∴△EDF≅△EDC

∴∠C=∠F,DF=DC

∵A.B,C,E 四點共圓

∴∠C ∠BAE=180°.

而∠3 ∠BAE=180°

∴∠C=∠3

∴∠F=∠3

∴BF=AB

∴CD=FD=BF BD=AB BD

典例1 ☆☆☆☆☆

如圖，已知點A，B，C，D順次在圓O上，AB=BD，BM⊥AC，垂為 M.

證明∶AM＝DC＋CM.

1.（★★☆☆☆）如圖，已知點 A，B，C，D順次在圓O上，AB＝BD，BM⊥AC，垂足為 M.若 AM＝5，CM＝1，則 CD＝_______.

2.如圖，已知△ABC中，D為AC上一點，且AD=DC CB，過點D作AC的垂線交外接圓于點M.求證：M是優弧AB的中點．

3.如圖，△ABC内接于⊙O，BC=2，AB=AC，點D為弧AC上的動點，

且cos∠ABC=

（1）求 AB 的長度.（2）求 AD· AE 的值.

（3）過A點作 AH⊥BD，求證∶BH=CD＋DH.

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