本文通過定積分知識,分别以微元dx、dy計算曲線y1=1/x與直線y2=x、x=e圍成的面積的主要步驟過程。
方法一:微元dx計算區域面積此時畫出曲線y1=1/x與直線y2=x、x=e圍成的區域示意圖,先求曲線y1與直線y2的交點,即:
1/x=x⇒x^2=1,取正數x1=1。
此時面積定積分表示為:
S=∫[x1,x2](y2-y1)dx
=∫[1,e](x-1/x)dx
=1/2*x^2-lnx[1,e]
=1/2*e^2-lne-1/2
=1/2*e^2-1-1/2
=1/2*e^2-3/2。
方法二:微元dy計算區域面積此時畫出曲線y1=1/x與直線y2=x、x=e^1圍成的區域示意圖,對以dy為微元計算面積時,總面積由三角形面積ABD和曲邊形ABC的面積和,即S=Sabc Sabc。
同理聯立曲線y1與直線y2,1/x=x,
即x^2=1,取正數x1=1。則:
AB=x2-x1=e-1,并對應求得縱坐标得:
y1=1/1=1,y2=2,則:
BD=y2-y1=e-1,此時三角形ABC的面積為:
Sabc=(1/2)AB*BD
=(1/2)(e-1)*(e-1)
=(1/2)(1-2e e^2).
當x=e時,y3=1/e,則:
Sabc=∫[y3,y1](e-1/y)dy
=(ey-lny)[1/e,1]
=e-2,
此時S有:
S=Sabc Sabc
=(1/2)(1-2e e^2) e-2
=1/2*e^2-e e-3/2
=1/2*e^2-3/2。
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