1、 掌握一次函數和二次函數的性質及圖象特征；

2、 運用一次函數與二次函數的性質解決有關問題。

一、知識點總結

1、一次函數

定義 ： 函數 y = kx b ( k ≠ 0 ) 叫做一次函數，它的定義域是 R，值域是 R 。

① 一次函數的圖象是直線，所以一次函數又叫線性函數；

② 一次函數 y = kx b ( k ≠ 0 )中，k 叫直線的斜率，b 叫直線在 y 軸上的截距；

當 k > 0 時，函數是增函數 ; 當 k < 0 時，函數是減函數 。

③ 當 b = 0 時, 該函數是奇函數且為正比例函數，直線過原點；b ≠ 0 時，它既不是奇函數，也不是偶函數 。

2、 二次函數

定義： 函數 y = ax^2 bx c ( a ≠ 0 ) 叫做二次函數，它的定義域為是R，圖象是一條抛物線 。

① 當 b = 0 時 ， 該函數為偶函數，其圖象關于 y 軸對稱；

②

二次函數性質圖（1）

③

二次函數性質圖（2）

④ 二次函數的三種表示形式

二次函數三種表示形式圖（3）

⑤ 利用配方法求二次函數 y = ax^2 bx c ( a ≠ 0 ) 的對稱軸方程為： x = -b / (2a) ；

⑥

二次函數圖（4）

⑦ 用待定系數法求函數解析式時，要注意函數對解析式的要求，一次函數、正比例函數、反比例函數的比例系數、二次函數的二次項系數等；要應視具體問題，靈活地選用其形式，再根據題設條件列方程組，确定其系數。

二、典型例題

1、一次函數的性質

例1：已知函數 y＝(2m－1)x＋1－3m，求當 m 為何值時：

(1)這個函數為正比例函數？ (2)這個函數為奇函數？ (3)函數值 y 随 x 的增大而減小？

解：（1）由題意，得

例題1圖（1）

∴ m = 1/3 時 ，這個函數為正比例函數 。

（2）函數為奇函數 ，有

例題1圖（2）

∴ m = 1/3 時 ，這個函數為奇函數 。

（3） 由題意，得 2m－1<0，∴ m < 1/2

∴ m < 1/2 ， 函數值 y 随 x 的增大而減小 。

2、 求一次函數的解析式

例題2、已知一次函數的圖象經過點A(1,1)、B(－2,7)，求這個一次函數的解析式。

解：設 y 關于 x 的函數解析式為 y＝ax＋b (a≠0)，把 A(1,1)、B(－2,7) 的坐标分别代入 y＝ax＋b，

例題2圖（1）

∴ y關于x的函數解析式為y＝－2x＋3 。

3、二次函數的值域問題

例3： 已知函數 f(x)＝x^2＋x－2，則函數 f(x) 在區間 [－1,1) 上 ( D )

A、最大值為0，最小值為－9/4 B、最大值為0，最小值為－2

C、最大值為0，無最小值 D、無最大值，最小值為－9/4

解：

例題3圖（1）

4、含參數的二次函數在閉區間上最值的讨論

例4：求 f(x)＝x^2－2ax－1 在 [0,2] 上的最大值 M(a) 和最小值 m(a) 的表達式。

解：f(x)＝(x－a)^2－a^2－1，x∈ [0,2]，

頂點是(a，－a^2－1)，二次項系數為正，圖象開口向上，

對稱軸 x＝a, 由 f(x) 在頂點左邊 (即x ≤ a) 單調遞減，在頂點右邊(即x≥a)單調遞增，

所以 f(x) 圖象的對稱軸 x＝a 與閉區間 [0,2] 的位置關系(求兩種最值)分4種情況求解．如圖①～④中抛物線的實線部分。

例題4圖（1）

在圖 ① 中，當 a < 0 時，f(x) 在 [0,2] 上單調遞增，所以 M(a)＝f(2)＝－4a＋3，m(a)＝f(0)＝－1；

在圖②中，當 0 ≤ a < 1，且 f(0) ≤f (2)，即0≤a<1時，f(x) 在 [a,2]上單調遞增，

所以M(a)＝f(2)＝－4a＋3，m(a)＝f(a)＝－a^2－1；

在圖③中，當1≤ a < 2 時， f(x)在[0，a]上單調遞減，最大值M(a)＝f(0)＝－1，最小值m(a)＝f(a)＝－a^2－1；

在圖④中，當a ≥ 2 時，f(x) 在 [0,2] 上單調遞減，所以M(a)＝f(0)＝－1，m(a)＝f(2)＝－4a＋3。

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