• 根式
• 有理指數
• 根式的加、減、乘運算
• 根式的除運算
• 根式方程及函數
• 複數

根式

基礎部分簡單的介紹過平方根：一個實數n乘以它自身，即為n的平方，n是平方根。

m是n的平方，n是m的一個平方根

同時，一個正數有兩個平方根有---一正一負。如：13、-13都是169的平方根。其中的正根為主根，可寫作

符号是根号，讀作根号m

0隻有一個平方根，即0

負根在根号前加負号即可。負數的根不在實數範圍暫不讨論。二次及更高次幂的讀法

根式

所有正數的幂都為整數，而負數的偶數次幂是正數，奇數次幂是負數。

高次幂的根式

• 當指數n為偶數且a≥0時，根式的值是實數
• 當指數n為奇數且a<0時，根式的值為非實數
• 當指數n為奇數時，根式的值都為實數

我們知道一個數為非完全平方時就無法得到根的準确值，但通過前後兩個完全平方數來估計它的區間。如：

11的主根範圍在(3,4)之間

• 當n為奇數時

恒成立

• 當n為偶數時

a＜0時不成立

但如下等式恒成立

n大于等于2

根式的化簡：找基數a中是否存在一個數的n次方的因子

如：根号12中存在4可以用2的平方表示，所以可以化簡為2乘以根号3

在指數乘法中，有

所以在相對應的根式中

n大于等于2

有理指數形式一般都可以寫成根式表示。我們知道

假如指數形式的幂不限于整數，如

這裡我們要得到p的值。

所以在n≥2時

幂中有理數形式指數的分母是根式的指數

幂中指數為負數，則對應根式是指數為正數時根式的倒數

指數為一般有理數形式對應根式

幂的乘除性質總結--同樣适用根式形式

根式的加、減、乘運算

根式加減将有相同基(被開方數)和相同根指數的項系數相加減。有相同基和相同根指數的項為同類根項。被開方數能被分解成不同因子且部分因子能被根式完全開方，将該根項化簡。

根式的除運算

運算過程中等式兩邊相互轉換

含根式的表達式在化簡後有理式分母中含非完全平方數或不能被開方的項，即分母出現無理數或項，導緻後續使用很不方便。因此就有了分母有理化，把非完全平方的數或不可開方的項轉換為整數或有理式。

根式方程及函數

根式中被開方項的表達式中含變量的等式，即根式方程。解根式方程目标

• 将根式放在方程的一邊，有理式放在另一邊
• 方程兩邊提升指數，去掉根式

升指數去掉根式

同根式方程，根式函數是含根式的函數

• n為偶數且x≥0，f(x)值域在實數範圍
• n為偶數且x＜0，f(x)值域不在實數範圍
• n為奇數，x為任意實數時，f(x)值域都在實數範圍

根式函數圖像

二次根式

三次根式

根據性質求根式函數定義域範圍

複數

被開方數為負數，而根式指數為偶數時，我們知道它的值不是實數，那麼它是什麼數呢？數學家為了需要将數域進一步擴大到複數。首先，複數概念需要了解虛數--i。虛數i的平方是-1

單位虛數的定義

那麼，b為正實數時

複數是實數的進一步擴展，用 a bi 表示(a，b是實數)：a為實部，b為虛部。

• b=0，a bi = a，即是實數
• b≠0，a bi 是虛數
• a=0，a bi = bi 是純虛數

複數加減法是實部、虛部分别相加減。複數乘除可參照二項式的乘除法則處理，但要注意i不同次數對應值

i 的次數為1、2、3、4的倍數對應值分别與1、2、3、4次的值相同

,

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