數學王子高斯你不知道他有多偉大?不管是哥德巴赫猜想、孿生素數猜想，數學家們在證明的時候，估計哥德爾都在旁邊得意的笑，下面我們就來聊聊關于數學王子高斯你不知道他有多偉大?接下來我們就一起去了解一下吧!

數學王子高斯你不知道他有多偉大

不管是哥德巴赫猜想、孿生素數猜想，數學家們在證明的時候，估計哥德爾都在旁邊得意的笑。

哥德爾

為啥呢？因為哥德爾不完備定理。

20世紀初的時候，以希爾伯特為首的數學家們有一個夢想，就是證明數學是自恰的。

什麼叫數學是自恰的呢？就是數學這個體系可以做到，在以一定的公理出發，在數學邏輯的運行下，推論出來的所有的定理，都是相融的，不會出現自相矛盾的地方。

但是哥德爾，一個奧地利邏輯學家，卻用他的不完備定理，打破了數學家們的美好理想。

哥德爾不完備定理說的是，任何一個自恰的數學系統，必然包含了系統裡的公理定理，無法證明也無法證僞的命題。

舉個簡單的例子，一個火星人說，所有火星人都是說謊的。好了，那麼請問這句話到底是真是假。如果這句話是真的，那麼就說明确實所有火星人都是說謊的，那麼這個火星人說的這句，所有火星人都是說謊的，這句話是一句謊話，那麼也就是火星人是不說謊的，那麼也就是這句，火星人都是說謊的這句話，是句真話。那麼這個火星人還是在說謊，這樣下去就沒完沒了了，也就是這句話，無法被判斷到底是真是假。

當然你可能覺得，這就是個文字遊戲，是個小聰明。 那麼就來看看哥德爾的證明。

我們知道，數學定理的推導，都是從公理出發，經過數理邏輯的推導，可以推導出來很多定理。

比方說歐幾裡得幾何，其中有一條公理。就是兩條平行線永遠不會相交。通過這條公理能有幾千條幾何學的定理被推導出來。

公理是無法被證明的，隻能是不證自明。你隻能認為這條公理是對的，在這個基礎上開始推導。

好了，我們知道計算機其實是用0和1表達所有的信息，也就是我們可以設計這樣一個規則。

給每個公理、定理編個号，我們設計這樣一套系統，這個系統裡，所有的公理，我們用一個素數代表，每個由公理推導出來的定理、命題，也用一個數字代表，并且是個合數，它可以拆成幾個素數的乘積，也就是能被公理推理出來的問題，能寫成那幾個公理所對應的素數的乘積。

好了，現在假設我有一個自恰的數學系統，裡面有若幹條，但是是有限條公理，都用素數代表。

現在我來看這樣一個命題，這個命題是這樣說的。本命題不能由系統裡的公理推導出來，那麼請問這條命題是真命題還是僞命題？

先假設它是僞命題。也就是說這條命題可以被這些公理證明，那麼它必然是個合數。也就是說，你可以證明這條命題說的"本命題不能被這些公理推導出來"是真的，那麼也就是說，這個命題對應的數字，應該是個素數，也就與一開始，這個命題是個合數相矛盾，也就是這條命題不可能是僞命題。

所以這條命題，隻能是真命題。

也就是這條命題對應的數字，一開始就應該是一個素數，這樣才能讓這條命題自恰。

好了，既然它是素數，它就應該被歸類到剛才的那些公理當中去，成為一條新的公理。也就是說你現在多了一條公理，那麼現在就可以如法炮制了。

我再舉一個命題叫"本命題不能被剛才多了一個公理的系統裡的公理推導出來"，那麼根據剛才的操作，這條新的命題，也應該是一個新的公理，應該被歸到你的公理當中去，這樣一直下去，你就會得到無限個公理。

這就是哥德爾不完備定理的證明。啥意思呢？就是數學系統裡的公理，有無限個不可能用有限的公理推導出所有的數學定理。

所有人類以有限的時間，找到的有限個數學公理，永遠不可能把數學全息，數學永遠無法自恰。

并且很多著名的數學命題，比方哥德巴赫猜想、黎曼猜想，這樣猜想類的命題，試起來都對，但是我們遲遲證明不了它，可能不是因為它難，而很有可能是因為它其實是一條公理，你去驗證怎麼都正确。因為公理是永遠無法被證明的，隻能夠被驗證。

所以說哥德爾作為一個邏輯學家，用簡單的邏輯就證明了數學家們的努力是永無止境的。

這也挺好的，數學家永遠都有工作，看來還是我們物理學家舒服一點，即使物理的真理也是無窮的，但是我們畢竟受制于我們的感知能力，所以我們物理學家的工作應該不會是永無止盡的，我們的極限，就是我們的感知極限。

哥德爾不完備定理還是比較繞，弄不懂的話，就多看幾遍吧。

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