在解析幾何的綜合運用問題中，我們往往遇到這類問題：已知一點坐标(x0,y0)和曲線方程F(x,y)=0，要讨論過該定點直線與曲線的位置情況（相交、相切、相離）、過定點直線截曲線的弦長、曲線上動點與定點組成的幾何圖形（如三角形）的面積，等等。一般的解答套路是，先用點斜式假設過定點(x0,y0)的直線方程y-y0=k(x-x0)，然後将y-y0=k(x-x0)帶入曲線方程得出關于x或者關于y的二次方程，最後用韋達定理、兩點間距離公式、點到直線距離公式去求解和讨論各種各樣的問題。方法雖笨，但地球是圓的，我們總能通過這種辦法從北京慢慢爬到羅馬。
不過，值得重視的一點是，點斜式方程的使用有個重要的前提，即直線的斜率k必須存在。對于垂直于x軸的直線，點斜式方程失效。如果這類直線滿足題目情景，同學們往往會漏解。對于這個學習bug, 考試出題者當然喜聞樂見，抓住一切機會來考察同學們的分類讨論能力。
古語有雲，你有張良計，我有過牆梯。強老師贈予各位一計，堵住bug。很簡單，将點斜式方程反過來設，改為m(y-y0)=x-x0。與原方程對比，新方程的乘數m設在含變量y代數式的一邊。其意義,m=1/k,即為直線斜率的倒數。當m=0時，x=x0，是一條垂直于x軸的直線。這種反過來的點斜式方程最大的好處在于，它包含了垂直于x軸的直線。解題時，有時候可以免去特殊情況的讨論，而且計算也較為方便。
進一步解釋
聰明、細心的同學一定發現，本文介紹的方法也不是盡善盡美的。缺憾在于，對于垂直于y軸的直線，改善後的點斜式方程是無法讨論的。如果遇到一些特殊情況，直線垂直于y軸，使用改善後的點斜式，同樣需要分類讨論。哈哈哈，同學們，會不會瞬間崩潰，剛避開了一個雷，竟跳進一個坑。這就是數學的魅力所在，you never know where the 坑 is.
對此，為了避免有可能繁瑣的分類讨論或者複雜計算，強老師給個建議：做題前先審視題幹，如果垂直于x軸的直線有可能滿足題意，那麼使用m(y-y0)=x-x0的直線方程有可能獲得較好的效果；否則，使用y-y0=k(x-x0)更好。還是那句老得掉牙的話，具體問題具體分析。
日練一技，持之以恒，聚沙成塔，彙滴成川。終有一天，同學們會頓然發現，自己身輕如燕。我是強老師，歡迎大家與多我交流，我将不定時分享高中數學各種的解題方法、技巧以及一些新的數學運用理念，謝謝大家。
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