在介紹梯度，旋度，與散度這些東西之前，我們首先引入一個東西：nabla算符

（也叫做向量微分算子），其中

。

這個東西到底有什麼用呢，繼續向下看，你就會明白我把這個東西放在最前面的用意。梯度：在介紹梯度之前，就不得不說方向向量的事情。首先假設我們都是紙片人，在爬一座紙片山

顯然我們向上爬的時候，每一處地方，山的陡峭程度是不同的。我們直觀的感受就是爬山的時候費不費力。在二維中，這個陡峭程度我們把它叫做導數，導數可以表示函數曲線上的切線斜率。除了切線的斜率，導數還表示函數在該點的變化率。

回到現實，我們開始爬這座三維的山，不同于二維之中，我們隻能上下爬山，在三維之中，當我們站在一個點的時候，我們可以向四周随意行動（注意安全）。這也就意味着在這一點有着無數的方向，這麼多方向，我們如何才能把他們表示出來呢？這時我們有了一個好辦法，就像在一個坐标系中的向量可以用x，y軸上的單位向量表示一樣，我們可以建立空間直角坐标系，把山放進坐标系之中，假設山坡可以表示為

，和之前的思想類似，我們同樣可以把不同方向的斜率用x，y方向上的變化表示。而y方向的斜率可以對y偏微分得到.，x方向的斜率可以對x偏微分得到。這裡我們直接給出這個結論：

設

。我們可以把之前這個式子寫成兩個向量點積的形式，

，

一點處的方向導數有很多，但是如果我們要找一個最大，那麼

。

這時候當A和I重合時，方向導數最大，也就意味着這時，在這一點，山是最陡峭的。這時我們把A命名為梯度，記作

，

這樣，我們就知道了梯度的意義，從字面來看，這兩個字還是比較符合它的實際意義的。下次你再爬山的時候，也許你可以建立山的函數，求出自己所在位置的梯度，從而規劃一條最短的路哦。

通量與散度：之前，我們用房頂為曲面的房子講了進入房子裡面的雨水的量，也就是

，現在我們可以給這個東西取一個名字了，數學家們一拍腦袋，有了這個東西我們就把它叫做通量。顯然，通量描述的是進入房子的整體的水的量，而整體是部分的加和。就像之前我們用過的長方體氣球，從水龍頭中進來的水等于從氣球周圍流出的水，這樣我們便得到了高斯公式：

現在，用閉區域的體積V除上式兩端，得

左端表示單位時間内單位體積産生的水的平均值，顯然在這個氣球裡邊一定會有一個點單位時間内單位體積産生的水等于這個平均值，我們讓這個點取為M（x，y，z），那麼左邊的式子可以表示為：

我們把這個區域不斷地接近M點，也就是對上邊的式子取極限得到：

我們把上式左端叫做場v在M點的通量密度或散度，記作

即

設V=（P,Q,R）,把散度寫成向量點乘的形式，

顯然我們又一次看到了

這個東西。

散度的幾何意義：

散度散度，從名字上來看這個，這個量是用來描述“散開的程度”，但是根據我們之前的分析，散度這個量表示的是無窮小曲面處的通量。散度的大小直接與在這一個小曲面是否有通量有關。想像一個朝四面八方噴水的水水龍頭。在這個水龍頭上套一個橡皮圈。

顯然，橡皮圈會被水撐大，這一點散度就不為0，如果我們把這個橡皮圈拿出這個中心，就好像我們劃船一樣，這個橡皮圈會被水流沖走，這樣這個點的散度就為0了，所以說散度并不是描述“散開的程度”的一個量。

旋度：環流量、旋度與通量、散度是比較類似的。我們把單位時間内繞着一條曲線的量叫做環流量。和之前散度的定義類似，我們都是從宏觀到微觀，逐漸的把這個曲線縮小，縮小到圍繞着一個點附近很小的區域裡的平均環流量，這樣我們就得出了在一個點的旋度：

，之前的散度可以寫成

的形式，而我們的旋度又和散度十分相似，而與點乘十分相似的是什麼呢？沒錯就是叉乘，我們可以把

這個形式寫成叉乘的形式

總結：

一個矢量一般來說有3種“乘法”：

1、 矢量A和一個标量a相乘：aA

2、 矢量A和一個矢量B進行點乘：A·B

3、 矢量A和一個矢量B進行叉乘

同樣，算子也有三種運算

1、 ▽算子作用在一個标量函數z上：▽z，這個表示的是z的梯度

2、 ▽算子跟一個矢量函數E點乘：▽·E。表示E的散度

3、 3、▽算子跟一個矢量函數E叉乘：▽×E。表示E的旋度

了解了這些之後，你就可以去看被譽為史上最美方程的的麥克斯韋方程組了。

還有一件事

對于格林公式，高斯公式，stokes公式，如果學習了外微分的話，這些公式其實表示的是一個東西

在這裡，我僅抛磚引玉，想要學習的可以閱讀龔升老師的《微積分五講》

假設滿足

，這兩條規則的微分乘積稱為微分的外乘積，由微分的外乘積乘上函數組成的微分形式，稱為外微分形式

為一次外微分形式

為二次外微分形式

為三次外微分形式

（A,B,C,D,P,Q,R,H）都是x，y，z的函數

對于任意兩個外微分形式

也可以定義外微分

則

外微分的外乘積滿足分配律和結合律，如果

是任意的三個外積分形式，則

對于外微分形式

，可以定義外微分算子

對于零次外微分形式，就是普通的全微分算子

對于一次外微分形式，

，定義

，即對P,Q,R進行外微分（全微分），然後進行外乘積，

對于二次外微分形式：

同樣，定義

,代入dA,dB,dC利用外乘積的性質得到

對于三次外積分形式

格林公式：

記，

，

是一次外微分形式，

于是

對兩邊同時積分，得到格林公式

Stokes公式：

，看作是一次外微分形式，于是

，對兩邊同時積分得到stokes公式。

對于高斯公式

将

看作二次外微分形式，

,積分得到高斯公式

先看零次外微分形式

，外微分形式為

，而f的梯度為

,梯度與零次型的外微分相對應

同理，旋度與一次型外微分相對應，散度與二次型外微分相對應

牛頓-萊布尼茲法則建立了直線段與邊界的關系

格林公式建立了平面區域與其邊界的關系

Stokes公式建立了空間曲面與其邊界的關系

高斯公式建立了空間中區域與其邊界的關系

這四個公式其實說的都是一個内容，都是建立了圍成區域與邊界之間的關系

參考書目：

工科數學分析基礎 下冊-馬知恩等主編-高等教育出版社-1998

《微積分五講》龔升

最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）長尾科技

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