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人教五數下知識點

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第五章 相交線與平行線

5.1.1相交線

1、如果兩條直線隻有一個公共點，就說這兩條直線相交，該公共點叫做兩直線的交點。

2、如果兩個角有一個公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那麼這兩個角互為鄰補角。性質：鄰補角互補。（兩條直線相交有4對鄰補角。）

3、如果兩個角的頂點相同，并且兩邊互為反向延長線，那麼這兩個角互為對頂角。性質：對頂角相等。（兩條直線相交，有2對對頂角。）

5.1.2垂線

4、當兩條直線相交，所成的四個角中有一個角是直角，那麼這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

5、由直線外一點向直線引垂線，這點與垂足間的線段叫做垂線段。

（要找垂線段，先把點來看。過點畫垂線，點足垂線段。）

6、垂線段是垂線上的一部分，它是線段，一端是一個點，另一端是垂足。

7、垂線畫法：①放:放直尺,直尺的一邊要與已知直線重合;

②靠:靠三角闆,把三角闆的一直角邊靠在直尺上;

③移:移動三角闆到已知點;

④畫線:沿着三角闆的另一直角邊畫出垂線.

8、垂線性質1：過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直。

9、過一點畫已知線段(或射線)的垂線,就是畫這條線段(或射線)所在直線的垂線.

10、連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。（垂線段最短.）

11、直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

5.1.3同位角、同旁内角、内錯角

12、同位角：如果兩個角都在被截的兩條直線的同方向，并且都在截線的同側，即它們的位置相同，這樣的一對角叫做同位角。形如字母“F”。

13、内錯角：如果兩個角分别在被截的兩條直線之間（内），并且分别在截線的兩側（錯），這樣的一對角叫做内錯角。形如字母“Z”。

14、同旁内角：如果兩個角都在被截直線之間（内），并且都在截線的同側（同旁），這樣的一對角叫做同旁内角。形如字母“U”。

5.2.1平行線

15、在同一平面内，不相交的兩條直線叫做平行線，記作：a∥b。

16、平行線畫法：①落；②靠；③移；④畫。（工具:三角闆、直尺。）

17、在同一平面内，兩條直線的位置關系：

①相交（垂直是相交的一種特殊情形）；②平行。

18、平行公理：經過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線平行。

19、推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。

5.2.2平行線的判定

20、判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。

21、判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果内錯角相等，那麼這兩條直線平行。簡單說成：内錯角相等，兩直線平行。

22、判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁内角互補，那麼這兩條直線平行。簡單說成：同旁内角互補，兩直線平行。

23、在同一平面内，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那麼這兩條直線平行。

5.3.1平行線的性質

24、性質1 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。

25、性質2 兩條平行線被第三條直線所截，内錯角相等。簡單說成：兩直線平行，内錯角相等。

26、性質3 兩條平行線被第三條直線所截，同旁内角互補。簡單說成：兩直線平行，同旁内角互補。

27、平行線的性質與平行線的判定有什麼區别？

判定：已知角的關系得平行的關系。（證平行，用判定。）

性質：已知平行的關系得角的關系。（知平行，用性質。）

28、同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離。

5.3.2命題、定理

29、判斷一件事情的語句叫做命題。命題由題設和結論兩部分組成。題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。

30、命題常寫成“如果……，那麼……”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設，用“那麼”開始的部分是結論。

31、如果命題中題設成立，那麼結論一定成立的命題叫做真命題。（正确的命題）

32、命題中題設成立時，結論不一定成立的命題叫做假命題。（錯誤的命題）

33、經過推理證實的真命題叫做定理。

5.4平移

34、在同一平面内，将一個圖形沿某一直線方向移動一定距離，這樣的圖形變換叫做平移。

35、平移的特征（性質）：

①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。

②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這兩個點是對應點，連接各組對應點的線段平行且相等。

第六章實數

1、相反數

(1)代數意義：隻有符号不同的兩個數，我們說其中一個是另一個的相反數．0的相反數是0.

(2)幾何意義：在數軸上原點的兩側，與原點距離相等的兩個點表示的兩個數互為相反數，或數軸上，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱.

(3)互為相反數的兩個數之和等于0.a、b互為相反數 a b=0.

2.絕對值 |a|≥0．

3.倒數 （1）0沒有倒數 (2)乘積是1的兩個數互為倒數．a、b互為倒數 .

2、平方根、立方根

（1）算術平方根：正數a的正的平方根叫做a的算術平方根。

（2）如果x²=a，則x叫做a的平方根（a稱為被開方數）。

（3）正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。

（4）平方根和算術平方根的區别與

區别：正數的平方根有兩個，而它的算術平方根隻有一個。

（1）被開方數必須都為非負數；（2）正數的負平方根是它的算術平方根的相反數，根據它的算術平方根可以立即寫出它的負平方根。（3）0的算術平方根與平方根同為0。

（5）如果x³=a，則x叫做a的立方根（a稱為被開方數）。

（6）正數有一個正的立方根；0的立方根是0；負數有一個負的立方根。

（7）求一個數的平方根（立方根）的運算叫開平方（開立方）。

3、立方根與平方根的區别：

一個數隻有一個立方根，并且符号與這個數一緻；隻有正數和0有平方根，負數沒有平方根，正數的平方根有2個，并且互為相反數，0的平方根隻有一個且為0.

4、題型規律總結：

（1）平方根是其本身的數是0；算術平方根是其本身的數是0和1；立方根是其本身的數是0和±1。

（2）每一個正數都有兩個互為相反數的平方根，其中正的那個是算術平方根；任何一個數都有唯一一個立方根，這個立方根的符号與原數相同。

（3）非負數的重要性質：若幾個非負數之和等于0，則每一個非負數都為0（此性質應用很廣，務必掌握）。

5、實數與數軸

數軸定義： 規定了原點，正方向和單位長度的直線叫做數軸，數軸的三要素缺一不可．

6、實數大小的比較

（1）對于數軸上的任意兩個點，靠右邊的點所表示的數較大.

（2）正數都大于0，負數都小于0，兩個正數，絕對值較大的那個正數大；兩個負數；絕對值大的反而小.

（3）無理數的比較大小：

7、實數的運算

（1）加法同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加；絕對值不相等的異号兩數相加，取絕對值較大的加數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得0；一個數同0相加，仍得這個數．

（2）減法：減去一個數等于加上這個數的相反數．

（3）乘法 幾個非零實數相乘，積的符号由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數有奇數個時，積為負．幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．

（4）除法 除以一個數，等于乘上這個數的倒數．兩個數相除，同号得正，異号得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數都得0．

（5）乘方與開方

aⁿ所表示的意義是n個a相乘，正數的任何次幂是正數，負數的偶次幂是正數，負數的奇次幂是負數．

正數和0可以開平方，負數不能開平方；正數、負數和0都可以開立方．

第七章 平面直角坐标系

7.1.1有序數對

1、有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對。

2、數軸有水平的（左負右正）和垂直的（上正下負）。

3、有序數對一般看數：先看上下後看左右。

7.1.2平面直角坐标系

4、平面内畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐标系。水平的數軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸，取向上方向為正方向；兩坐标軸的交點為平面直角坐标系的原點。

5、平面上的任意一點都可以用一個有序數對來表示，記為（a，b），a是橫坐标，b是縱坐标。

6、原點的坐标是（0，0）；

縱坐标相同的點的連線平行于x軸；

橫坐标相同的點的連線平行于y軸；

x軸上的點的縱坐标為0，表示為（x，0）；

y軸上的點的橫坐标為0，表示為（0，y）。

7、建立了平面直角坐标系以後，坐标平面就被兩條坐标軸分為了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标軸上的點不屬于任何象限。

8、幾個象限内點的特點：

第一象限（ ， ）；第二象限（—， ）；第三象限（—，—）；第四象限（ ，—）。

9、（x，y）關于原點對稱的點是（—x，—y）；

（x，y）關于x軸對稱的點是（x，—y）；

（x，y）關于y軸對稱的點是（—x，y）。

10、點到兩軸的距離：點P(x,y)到x軸的距離是︱y︳；

點P(x,y)到y軸的距離是︱x︳。

11、在第一、三象限角平分線上的點的坐标是（m，m）；

在第二、四象限叫平分線上的點的坐标是（m，—m）。

7.2.1用坐标表示地理位置

12、利用平面直角坐标系繪制區域内一些地點分布情況平面圖的過程如下：

⑴建立坐标系，選擇一個适當的參照點為原點，确定x軸、y軸的正方向；

⑵根據具體問題确定适當的比例尺，在坐标軸上标出單位長度；

⑶在坐标平面内畫出這些點，寫出各點的坐标和各個地點的名稱。

7.2.2用坐标表示平移

13、在平面直角坐标系中，将點（x，y）向右（或左）平移a個單位長度，可以得到對應點（x＋a，y）（或（x－a，y））；将點（x，y）向上（或下）平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y＋b）（或（x，y－b））。

（左右平移，縱不變，橫左減右加；上下平移，橫不變，縱上加下減。）

14、在平面直角坐标系内，如果把一個圖形各個點的橫坐标都加（或減去）一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐标都加（或減去）一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度。

（縱不變，橫加向右，橫減向左；橫不變，縱加向上，縱減向下。）

第八章 二元一次方程組

8.1二元一次方程組

1、含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。

2、把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。（①共有兩個未知數；②每個方程都是一次方程。）

3、使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解。

（特點：①一對數值；②無數個解。）

4、二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

8.2消元——二元一次方程組的解法

5、将未知數的個數有多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想。

6、把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含有另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

7、用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：

①變形：選擇其中一個方程，把它變形為用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式；

②代入求解：把變形後的另一個方程帶入另一個方程中，消元後求出未知數的值；

③回代求解：把求得的未知數的值代入到變形的方程中，求出另一個未知數的值；

④寫解：用 x=a,y=b 的形式寫出方程組的解.

8、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

①弄清題意，找出兩個等量關系；

②設未知數；

③根據等量關系，列出方程組；

④解方程組；

⑤寫答。

9、兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，将兩個方程的兩邊分别相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

10、兩方程相加減前，應先使要消去的未知數的系數相反或相等。

11、用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：

①變形；②加減求解；③回代求解；④寫解。

12、何時選用代入消元法？何時選用加減消元法？

①當一個方程中某個未知數的系數絕對值是1時，用代入法比較簡便；

②當兩個未知數在兩個方程中的系數絕對值相等或成整數倍時，用加減法比較簡便。

8.4三元一次方程組解法舉例

13、在方程組中含有三個相同的未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。

第九章 不等式與不等式組

9.1.1不等式及其解集

1、用“＜”或“＞”号表示大小關系的式子叫做不等式。

（有些不等式中含有未知數，有些不等式中不含未知數。）

2、不等式的符号統稱不等号，有“＞” “＜” “≠”. 其中“≤” “≥”,也是不等号.其中，“≤”表示，不大于、不超過，“≥”表示不小于、不低于。

3、使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解。

4、一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集。

5、解與解集的關系：不等式的解集包括不等式全體的解；解集中的任何一個數都是不等式的解。

6、用數軸表示解集：在數軸上标出某一區間，其中的點對應的數值都是不等式的解。①方向線向左表示小于，方向線向右表示大于；

②空心圓圈表示不包括；

③實心圓圈表示包括。

7、用數軸表示解集的步驟：①畫數軸；②找點；③定向；④畫線。

8、求不等式的解集的過程叫做解不等式。

9、含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式。

9.1.2不等式的性質

10、不等式的性質1 不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等号的方向不變。如果a＞b，那麼a±c＞b±c。

11、不等式的性質2 不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等号的方向不變。 如果a＞b,c＞0,那麼ac＞bc（或a/c＞b/c）。

12、不等式的性質3 不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等号的方向改變。如果a＞b,c＜0,那麼ac＜bc（或a/c＜b）。

13、解未知數為x的不等式，就是要使不等式逐步化為x＞a或x＜a的形式。

14、解不等式時也可以“移項”，即把不等式一邊的某項變号後移到另一邊，而不改變不等号的方向。

15、解不等式時要注意未知數系數的正負，以決定是否改變不等号的方向。

9.2實際問題與一元一次不等式

16、解一元一次方程，要根據等式的性質，将方程逐步化為x＝a的形式；而解一元一次不等式，則要根據不等式的性質，将不等式逐步化為x＜a（或x＞a）的形式。

9.3一元一次不等式組

17、把幾個不等式合起來，就組成了一個一元一次不等式組。

18、幾個不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。

19、對于具有多種不等關系的問題，可通過不等式組解決。解一元一次不等式組時。一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集。

第十章 數據的收集、整理與描述

10.1統計調查

1、收集、整理、描述和分析數據是數據處理的基本過程。

2、用劃記法記錄數據，“正”字的每一劃（筆畫）代表一個數據。

3、考察全體對象的調查屬于全面調查。

4、扇形圖通過扇形的大小來反映各個部分占總體的百分比。扇形的大小是由扇形所對的圓心角決定的。扇形所對圓心角的度數就是各個扇形占總體的百分比乘以360⁰。

5、畫扇形圖時，用圓代表總體，每一個扇形代表總體中的一部分。

6、抽樣調查隻是抽取一部分對象進行調查，然後根據調查數據推斷全體對象的情況。

7、要考察的全體對象稱為總體，組成總體的每一個考察對象稱為個體，被抽取的那些個體組成一個樣本，樣本中個體的數目稱為樣本容量。

8、總體中的每一個個體都有相等的機會被抽到，叫做簡單随機抽樣。

9、統計調查是收集數據常用的方法，一般有全面調查和抽樣調查兩種，實際中常常采用抽樣調查的方式。調查時，可用不同的方法獲得數據。除問卷調查、訪問調查等外，查閱文獻資料和實驗也是獲得數據的有效方法。

10、全面調查和抽樣調查是收集數據的兩種方式。全面調查收集到的數據全面、準确，但一般花費多、耗時長，而且某些調查不宜用全面調查。抽樣調查具有花費少、省時的特點，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關系到總體估計的準确程度。

11、先将總體中的個體按某一特征分分層，然後在各個層中進行簡單随機抽樣，這種調查方法叫做分成随機抽樣。

12、在總體中個體之間差異較大且數目較多的情況下要用分層随機抽樣法。

13、條形圖的特點：能清楚的顯示每組中的具體數目。

14、扇形圖的特點：能清楚的顯示每組數據占總體的百分比。

15、折線圖的特點：能清楚的反映事物的變化情況。

10.2直方圖

16、畫頻數分布直方圖的一般步驟：

①計算最大值與最小值的差（目的：反映這組數據的變化範圍）；

②決定組距和組數；

③列頻數分布表；

④畫頻數分布直方圖。

17、把所有數據分成若幹組，每個小組的兩個端點之間的距離稱為組距。

18、組數=（最大值-最小值）÷組距

19、對落在各個小組内的數據進行累計，得到各個小組内的數據的個數叫做頻數。

20、分組、分點時，一般每組數據取值含左端點，不含右端點，數據不重不漏。

21、一般頻數分布直方圖是以小長方形的面積來反映數據落在各個小組内的頻數的大小。小長方形的高是頻數與組距的比值。

小長方形的面積=組距×（頻數÷組距）=頻數

22、畫等距分組的頻數分布直方圖時，為畫圖與看圖方便，通常直接用小長方形的高表示頻數。小長方形的面積=頻數×組距。

23、直方圖的特點：①能夠顯示各組頻數分布情況；②易于顯示各組之間頻數之間的差别。

24、頻數折線圖：首先取直方圖中每一個長方形上邊的中點，然後在橫軸上直方圖的左右取兩個頻數為0的點，它們分别與直方圖左右相距半個組距。

25、直方圖與條形圖的區别與

①條形圖是用長方形的高表示各類别頻數的多少，其寬度是固定的；直方圖是用長方形的面積表示各組頻數的多少，長方形的寬表示各組的組距。

②分組數據具有連續性，直方圖各長方形之間沒有空隙，而條形圖的各長方形是分開排列，中間有空隙。

6.1.1三角形的邊

50、由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。51、相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的内角，簡稱三角形的角。

52、頂點是A、B、C的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”。

53、三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

54、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。

55、三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形。

56、在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。

57、等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形。

58、三角形按角的大小分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。

三角形按邊的相等關系分類：

①不等邊三角形

②等腰三角形（底邊和腰不相等的等腰三角形和等邊三角形）

59、三角形（任意）兩邊的和大于第三邊。

60、三角形（任意）兩邊的差小于第三邊。

61、技巧：兩較小線段之和大于第三條線段就能組成三角形。

7.1.2三角形的高、中線和角平分線

62、從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高。（頂點 垂足=高）

63、連接△ABC的頂點和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線。（頂點 中點=中線）

64、畫∠A的平分線AD，交所對的邊BC于點D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線。（頂點 交點=角平分線）

7.1.3三角形的穩定性

65、三角形具有穩定性。

66、四邊形具有不穩定性。

7.2.1三角形的内角

67、三角形内角和定理：三角形三個内角的和等于180^○。

7.2.2三角形的外角

68、三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

69、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個内角的和。

70、三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個内角。

71、一個三角形有六個外角，每個頂點有兩個外角，并且這兩個外角是一對對頂角。

72、三角形的一個外角與它相鄰的内角互補。

73、在三角形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做三角形的外角和。三角形的外角和是360⁰。

7.3.1多邊形

74、在平面内，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

75、多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的内角。

76、多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

77、連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

78、n邊形的總對角線數公式：

79、一個頂點有（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把多邊形分成（n-2）個三角形。

80、各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

81、畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那麼這個多邊形就是凸多邊形。

7.3.2多邊形的内角和

82、n邊形的内角和公式：（n－2）×180⁰

83、多邊形的外角和等于360。

84、如果四邊形的一組對角互補，那麼另一組對角也互補。

7.4課題學習 鑲嵌

85、用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問題。

86、平面鑲嵌的條件：

①拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360⁰；

②相鄰的多邊形有公共邊。

87、如果用一種多邊形進行鑲嵌，能鑲嵌成一個平面圖案的是任意三角形、任意四邊形和正六邊形。

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