關于歐拉公式，我寫了很多文章，但這是一個百談不厭的話題，因為它确實太美麗，太吸引人了。一個隻有四個字符的等式，包含的信息量是驚人的，并且意義也非常深刻。這篇文章，我們将一起看看歐拉公式是如何擴展e的定義的。

很多人第一次看到這個公式都會感到震驚。為什麼這個等式可以成立？這幾乎就是複數的定義，我們可以這樣寫：

它擴展了e的定義，使之對複數有意義，同時對實數仍然有意義。首先，讓我們先理解方程的右邊，它與初級幾何學有很好的聯系。

我們可以把複數看作二維平面上的一個點，用半徑和角度來描述，或者用x坐标和y坐标來定義。Y軸對應的是 "虛軸"，X軸對應的是 "實軸"。所以點（2,3）對應于2 3i，其中i是-1的平方根。

兩個複數相加對應的隻是将它們的實部和虛部相加。例如，（2 3i） （1 5i）=（3 8i）。

複數的乘法可以用一種有趣的方式來形象化：它對應于旋轉和半徑的變化。在這裡，-1的平方根是完全有意義的，因為我們已經擴展了乘法的定義。點i的角是90度，長度是1。所以，當點z乘以i時，相當于将點z旋轉90度，并将長度擴大1倍。當然，半徑乘以1還是不變的。如果用2i乘以z，它就會旋轉90度，向外拉伸2倍。

現在，我們做一件有趣的事情，把定義在實數上的e的規則也用在複數上，看看會發生什麼！讓我們把兩個數字相乘。然而，我們做的事情有點奇怪。我們把複數寫成下面的形式：

z_1是藍色的線，角度和半徑較大，z_2是紅色的線，角度和半徑較小。

現在我們将它們相乘，同時顯示出視覺上和代數上的情況。

• 可視化複數乘法

從視覺上看，當我們把紅線和藍線（或 "向量"）"相乘 "時，會得到紫色的線。

在複數乘法中，我們将角度相加，并将半徑相乘。紫線的角度是紅線的角度和藍線的角度之和。紫色線的長度是紅色線的長度與藍色線的長度的乘積。

現在讓我們直觀地看看，當旋轉紅線時，紫線會發生什麼變化。下圖顯示，它的長度保持不變，但紫線的旋轉量與紅線的旋轉量相同。

現在，讓我們用一些代數來正式說明這一點：

我們看到有兩個e乘在一起，對于實數：

所以我們試試用同樣的規則來處理複數（還沒有正式證明）。對複數使用同樣的規則：

所以總的來說，我們得到了這個結果：

因此，在代數上我們得到了我們所看到的視覺效果！為了算出兩個複數的乘積，我們把它們的角度相加，再乘以它們的半徑。

現在我們來看看我們是如何寫複數的。我們可以用實部和複部來表達，也可以用半徑和角度來表達。我們如何将這兩者聯系起來呢？

我們先寫z = x iy

現在，看看這兩種表示方法。

• 用兩種方式表示一個複數

左邊的圖片是把複數寫成實部和虛部之和。右邊的圖片，用三角函數的定義将其轉換為用cos和sin來寫這兩個部分。

這看起來很簡單。現在，神奇的一幕出現了。

這就是歐拉的天才之處。他擴展了e的定義，使之與定義在複數上的運算自然地配合。(如果你學習了關于幂級數的課程，就會更加明白他的想法有多麼不可思議）。

現在，我們來看一下數學中最著名的一行文字（符号）：

讓我們用我們的新工具來解讀它：

這個公式突出了歐拉在e和複數之間的聯系之美，但實際上，一旦我們理解了定義和符号，就不會覺得那麼複雜了。我們所做的隻是将一個數字從半徑和角度的表示轉換為實部 虛部的表示。

故事并沒有到此結束。這個公式暗示了複數世界将是多麼的神奇。然而，直到19世紀，數學家（特别是柯西和黎曼）才揭開了複數中微積分的秘密。

幂級數提供了一個很好的方法來擴展e、sin和cos的定義，從它們作為實數到實數的函數的定義，擴展到它們在複平面上的定義。

這表明歐拉的定義确實與實數的定義完美地結合在一起。

e^x、sin(x)和cos(x)都可以被定義為一個幂級數。

這意味着，對于每一個點x，這些函數的值都可以通過上面的無限級數來估算。

現在，回想一下，i^2=-1，是我們研究複數的開端。那麼我們為什麼不試試下面的方法呢？

我們需要簡化i的所有幂：

這個規律會重複出現。例如：

所以我們要進行化簡：

現在我們把實部和虛部分開：

記得sin和cos的幂級數定義嗎？如果我再寫幾個術語，你就會想起我在本節開始時寫的幂級數。

我再給你最後一次機會來發現它：

太神奇了！！

事實證明，有了我們對i的定義，有了我們對cos、sin和e的幂級數定義，這個公式就非常合理了。複數乘法的幾何定義不僅看起來很酷，而且驚人地将e的值與cos和sin聯系起來。

誰能想到呢! 希臘人創造的描述圓上坐标的函數（cos和sin）與e有神秘的聯系，一旦我們把數字擴展到包括負1的平方根，它就會向自身微分。

這是個奇妙的世界。

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