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第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

（1）一元二次方程的定義

等号兩邊都是整式，隻含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下幾點：

①隻含有一個未知數；

②未知數的最高次數是2；

③是整式方程。

（2）一元二次方程的一般形式

一般形式：

ax² bx c = 0(a ≠ 0).

其中，ax²是二次項，a是二次項系數；

bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。

（3）一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。

21.2 降次——解一元二次方程

21.2.1 配方法

知識點一：直接開平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地，對于形如x²=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義可解得

（2）直接開平方法适用于解形如x²=p或(mx a)²=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。

（3）用直接開平方法求一元二次方程的根，要正确運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。

（4）直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項系數或含有未知數的式子的平方項的系數為1；③兩邊直接開平方，使原方程變為兩個一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知識點二：配方法解一元二次方程

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。

配方法的一般步驟可以總結為：

（1）一移：把常數項移到等号的右邊；

（2）二除：方程兩邊都除以二次項系數；

（3）三配：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式；

（4）四開：若等号右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。

21.2.2 公式法

知識點一公式法解一元二次方程

（1）一般地，對于一元二次方程ax² bx c=0(a≠0)，如果b²-4ac≥0，那麼方程的兩個根為

這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax² bx c=0(a≠0)的過程。

公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax² bx c=0(a≠0)，一般a化為正值

②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③求出b²-4ac的值；

④若b²-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b²-4ac＜0，則方程無實數根。

知識點二一元二次方程根的判别式

式子b²-4ac叫做方程ax² bx c=0(a≠0)根的判别式，通常用希臘字母△表示它，即△=b²-4ac.

21.2.3 因式分解法

知識點一因式分解法解一元二次方程

（1)因式分解法解定義

把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化 為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。

（2）因式分解法的詳細步驟：

①移項，将所有的項都移到左邊，右邊化為0；

②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③令每一個因式分别為零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知識點二用合适的方法解一元一次方程

21.2.4 一元二次方程的根與系數的關系

若一元二次方程x² px q=0的兩個根為x₁,x₂,則有x₁ x₂=-p,x₁x₂=q.

若一元二次方程a²x bx c=0(a≠0)有兩個實數根x₁,x₂,則有

22.3實際問題與一元二次方程

知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：

（1）審：是指讀懂題目，弄清題意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關系。

（2）設：是指設元，也就是設出未知數。

（3）列：就是列方程，一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然後 列代數式表示這個相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程。

（4）解：就是解方程，求出未知數的值。

（5）驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。

（6）答：寫出答案。

知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型

（1）數字問題

三個連續整數：若設中間的一個數為x，則另兩個數分别為x-1，x 1。

三個連續偶數（奇數）：若中間的一個數為x，則另兩個數分别為x-2,x 2。

三位數的表示方法：設百位、十位、個位上的數字分别為a,b,c，則這個三位數是100a 10b c.

（2）增長率問題

設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次的增長或降低後的等量關系為a（1±x）²=b。

（3）利潤問題

利潤問題常用的相等關系式有：

①總利潤=總銷售價-總成本；

②總利潤=單位利潤×總銷售量；

③利潤=成本×利潤率

（4）圖形的面積問題

根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關系，将圖形的面積用含有未知數的代數式表示出來，建立一元二次方程。

第二十二章二次函數

1.定義：一般地，如果y=ax² bx c（其中a，b，c是常數，a≠0），那麼y叫做x的二次函數.

2.二次函數y=ax²的性質

（1）抛物線y=ax²的頂點是坐标原點，對稱軸是y軸.

（2）函數y=ax²的圖像與a的符号關系.

①當a>0時Û抛物線開口向上Û頂點為其最低點；

②當a<0時Û抛物線開口向下Û頂點為其最高點.

（3）頂點是坐标原點，對稱軸是軸的抛物線的解析式形式為y=ax²（a≠0）.

3.二次函數 y=ax² bx c的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的抛物線.

4.二次函數y=ax² bx c用配方法可化成：

y=a（x - h）² k的形式，其中

5.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①y=ax²；

②y=ax² k；

③y=a（x - h）²；

④y=a（x - h）² k；

⑤y=ax² bx c.

6.抛物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a的符号決定抛物線的開口方向：

當a>0時，開口向上；

當a<0時，開口向下；

|a| 相等，抛物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作x=h.特别地，y軸記作直線x=0.

7.頂點決定抛物線的位置.

幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那麼抛物線的開口方向、開口大小完全相同，隻是頂點的位置不同.

8.求抛物線的頂點、對稱軸的方法

（1）公式法：

∴頂點是:

對稱軸是直線:

（2）配方法：運用配方的方法，将抛物線的解析式化為y=a（x-h）² k的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線x=h.

（3）運用抛物線的對稱性：由于抛物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是抛物線的對稱軸，對稱軸與抛物線的交點是頂點.

用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.

9.抛物線y=ax² bx c中，a、b、c的作用

（1）a決定開口方向及開口大小，這與y=ax²中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定抛物線對稱軸的位置.由于抛物線y=ax² bx c的對稱軸是直線

，故：

①b=0時，對稱軸為y軸；

②

（即a、b同号）時，對稱軸在y軸左側；

③

（即a、b異号）時，對稱軸在y軸右側.

（3）的大小決定抛物線y=ax² bx c與y軸交點的位置.

當x=0時，y=c，∴抛物線y=ax² bx c與y軸有且隻有一個交點（0，c）：

①c=0，抛物線經過原點;

②c>0，與y軸交于正半軸；

③c<0，與y軸交于負半軸.

以上三點當結論和條件互換時仍成立.如抛物線的對稱軸在y軸右側，則

10.幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：

11.用待定系數法求二次函數的解析式

（1）一般式：y=ax² bx c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

（2）頂點式：y=a（x - h）² k .已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐标x_1、x₂，通常選用交點式:y=a(x-x₁)(x-x₂).

12.直線與抛物線的交點

（1）y軸與抛物線y=ax² bx c得交點為(0, c).

（2）與y軸平行的直線X=h與抛物線y=ax² bx c有且隻有一個交點（h, ah² bh c）

（3）抛物線與軸的交點

二次函數y=ax² bx c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐标x_1、x₂，是對應一元二次方程ax² bx c=0的兩個實數根.抛物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判别式判定：

①有兩個交點Û△>0Û抛物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）Û△=0Û抛物線與x軸相切；

③沒有交點Û△<0Û抛物線與軸相離.

（4）平行于軸的直線與抛物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐标相等，設縱坐标為k，則橫坐标是ax² bx c=k的兩個實數根.

（5）一次函數y=kx n(k≠0)的圖像L與二次函數y=ax² bx c(a≠0)的圖像G的交點，由方程組

的解的數目來确定：

①方程組有兩組不同的解時L與G有兩個交點;

②方程組隻有一組解時L與G隻有一個交點；

③方程組無解時L與G沒有交點.

（6）抛物線與x軸兩交點之間的距離：若抛物線y=ax² bx c與x軸兩交點為A(x₁,0),B(x_2,0)，由于x_1、x₂是方程ax² bx c=0的兩個根，故

第二十三章旋轉

23.1 圖形的旋轉

知識點一旋轉的定義

在平面内，把一個平面圖形繞着平面内某一點O轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。

我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。

知識點二旋轉的性質

旋轉的特征：

（1）對應點到旋轉中心的距離相等；

（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

（3）旋轉前後的圖形全等。

理解以下幾點：

（1） 圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。

（2） 對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。

（3）圖形的大小和形狀都沒有發生改變，隻改變了圖形的位置。

知識點三利用旋轉性質作圖

旋轉有兩條重要性質：

（1）任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

（2）對應點到旋轉中心的距離相等，它是利用旋轉的性質作圖的關鍵。

步驟可分為：

①連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心；

②轉：即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）

③截：即在角的另一邊截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；

④接：即連接到所連接的各點。

23.2 中心對稱

知識點一中心對稱的定義

中心對稱：把一個圖形繞着某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。

注意以下幾點：

(1)中心對稱指的是兩個圖形的位置關系；

(2)隻有一個對稱中心；

(3)繞對稱中心旋轉180°兩個圖形能夠完全重合。

知識點二作一個圖形關于某點對稱的圖形

要作出一個圖形關于某一點的成中心對稱的圖形，關鍵是作出該圖形上關鍵點關于對稱中心的對稱點。最後将對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。

知識點三中心對稱的性質

有以下幾點：

（1） 關于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經過對稱中心，并且都被對稱中心平分；

（2） 關于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；

（3） 關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或共線）且相等。

知識點四中心對稱圖形的定義

把一個圖形繞着某一個點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠與原來的圖形重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

知識點五關于原點對稱的點的坐标

在平面直角坐标系中，如果兩個點關于原點對稱，它們的坐标符号相反，即點p（x,y）關于原點對稱點為（-x,-y）。

第二十四章圓

24.1 圓

24.1.1 圓

知識點一

圓的定義：第一種：在一個平面内，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。

比較圓的兩種定義可知：

第一種定義是圓的形成進行描述的，

第二種是運用集合的觀點下的定義，但是都說明确定了定點與定長，也就确定了圓。

知識點二圓的相關概念

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑。

(2)弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

(3)等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。

(4)等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，隻有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直徑

知識點一圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。

知識點二垂徑定理

（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為CD，AB是弦，且CD⊥AB，

（2）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點M，

注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結論不成立。

24.1.3 弧、弦、圓心角

知識點弦、弧、圓心角的關系

（1）弦、弧、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘的各組量也相等。

（3）注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丢掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。

24.1.4 圓周角

知識點一圓周角定理

（1） 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

（2） 圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。

（3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系。“同弧或等弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。

知識點二圓内接四邊形及其性質

圓内接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓内接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。

圓内接四邊形的性質：圓内接四邊形的對角互補。

24.2 點、直線、圓和圓的位置關系

24.2.1 點和圓的位置關系

知識點一點與圓的位置關系

（1）點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓内三種。

（2）用數量關系表示：若設⊙O的半徑是r，點P到圓的距離OP=d，則有：

點P在圓外Û d＞r；點p在圓上Û d=r；點p在圓内Û d＜r。

知識點二過已知點作圓

（1） 經過一個點的圓（如點A）

以點A外的任意一點（如點O）為圓心，以OA為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。

（2） 經過兩點的圓

（如點A、B）以線段AB的垂直平分線上的任意一點（如點O）為圓心，以OA（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。

（3） 經過三點的圓

① 經過在同一條直線上的三個點不能作圓

② 不在同一條直線上的三個點确定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且隻能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個點A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點O，以點O為圓心，以OA（或OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓隻能作一個。

知識點三三角形的外接圓與外心

（1） 經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

（2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

知識點四反證法

（1） 反證法：假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正确，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。

（2） 反證法的一般步驟：

① 假設命題的結論不成立；

② 從假設出發，經過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結論；

③ 由矛盾判定假設不正确，從而得出原命題正确。

24.2.2 直線和圓的位置關系

知識點一直線與圓的位置關系

（1） 直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。

（2） 直線與圓的位置關系可以用數量關系表示

若設⊙O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：

直線l和⊙O相交Û d ＜ r；

直線l和⊙O相切Û d =r；

直線l和⊙O相離Û d ＞ r。

知識點二切線的判定和性質

（1） 切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

（2） 切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。

（3） 切線的其他性質：切線與圓隻有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。

知識點三切線長定理

（1） 切線長的定義：經過園外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

（2） 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

（3） 注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。

知識點四三角形的内切圓和内心

（1）三角形的内切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的内切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。

（2）三角形的内心：三角形内切圓的圓心叫做三角形的内心。

（3）注意：三角形的内心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的内心已知時，過三角形的頂點和内心的射線，必平分三角形的内角。

24.2.3 圓和圓的位置關系

知識點一圓與圓的位置關系

（1） 圓與圓的位置關系有五種：

① 如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和内含兩種；

② 如果兩個圓隻有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括内切和外切兩種；

③ 如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。

（2） 圓與圓的位置關系可以用數量關系來表示：

若設兩圓圓心之間的距離為d，兩圓的半徑分别是r₁ r₂,且r₁ ＜r₂，

則有：

兩圓外離Û d＞r₁ r₂

兩圓外切Û d=r₁ r₂

兩圓相交Û r₂-r₁＜d＜r₁ r₂

兩圓内切Û d=r₂-r₁

兩圓内含Û d＜r₂-r₁

24.3 正多邊形和圓

知識點一正多邊形的外接圓和圓的内接正多邊形

正多邊形與圓的關系非常密切，把圓分成n（n是大于2的自然數）等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的内接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

知識點二正多邊形的性質

（1） 正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。

（2） 所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經過正n邊形的中心；當正n邊形的邊數為偶數時，這個正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。

（3） 正n邊形的每一個内角等于

，中心角和外角相等，等于

24.4 弧長和扇形面積

知識點一弧長公式l=

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2πR，所以n°的圓心角所對的弧長的計算公式

知識點二扇形面積公式

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=πR²，所以圓心角為n°的扇形的面積為S_扇形=

比較扇形的弧長公式和面積公式發現：

S_扇形=

知識點三圓錐的側面積和全面積

圓錐的側面積是曲面，沿着圓錐的一條母線将圓錐的側面展開，容易得到圓錐的側面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那麼這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側面積。圓錐的全面積為。

第二十五章　概率初步

25.1 随機事件與概率

25.1.1 随機事件

知識點一必然事件、不可能事件、随機事件

在一定條件下，有些事件必然會發生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發生也可能不會發生的事件稱為随機事件。

必然事件和不可能事件是否會發生，是可以事先确定的，它們統稱為确定性事件。

知識點二事件發生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随機事件發生的可能性有大有小。不同的随機事件發生的可能性的大小有可能不同。

25.1.2 概率

知識點概率

一般地，對于一個随機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為随機事件A發生的概率，記作P（A）。

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那麼事件A發生的概率P（A）=

。由m和n的含義可 知0≤m≤n，因此0≤

≤1，因此0≤P（A）≤1.

當A為必然事件時，P（A）=1；當A為不可能事件時，P（A）=0.

25.2 用列舉法求概率

知識點一用列舉法求概率

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那麼事件A發生的概率P（A）=

。

知識點二用列表發求概率

當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法。

知識點三用樹形圖求概率

當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，并求出概率的方法。

(1)樹形圖法同樣适用于各種情況出現的總次數不是很大時求概率的方法。

(2)在用列表法和樹形圖法求随機事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同。

25.3 用頻率估計概率

知識點

在随機事件中，一個随機事件發生與否事先無法預測，表面上看似無規律可循，但當我們做大量重複試驗時，這個事件發生的頻率呈現出穩定性，因此做了大量試驗後，可以用一個事件發生的頻率作為這個事件的概率的估計值。

一般地，在大量重複試驗中，如果事件A發生的頻率

穩定于某一個常數P，那麼事件A發生的頻率P（A）=p 。

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