小學數學有些基礎概念看似簡單,但是有時候連大人也搞不清。下面是為大家準備的小學數學中比較易混淆的基礎概念希望對大家有所幫助。
最小的一位數是0還是1?
這個問題在很長一段時間存在争論。先來看看《九年義務教育六年制小學數學第八冊教師教學用書》第98頁“關于幾位數”的叙述:“通常在自然數裡,含有幾個數位的數,叫做幾位數。例如“2”是含有一個數位的數,叫做一位數;“30”是含有兩個數位的數,叫做兩位數;“405”是含有三個數位的數,叫做三位數……但是要注意:一般不說0是幾位數。
再來聽聽專家的說明:在自然數的理論中,對“幾位數”是這樣定義的,“隻用一個有效數字表示的數,叫做一位數;隻用兩個數字(其中左邊第一個數字為有效數字)表示的數,叫做兩位數……所以,在一個數中,數字的個數是幾(其中最左邊第一個數字為有效數字),這個數就叫幾位數。
于此,所謂最大的幾位數,最小的幾位數,通常是在非零自然數的範圍研究。所以一位數共有九個,即:1、2、3、4、5、6、7、8、9。
0不是最小的一位數。
為什麼0也是自然數?
課标教材對“0也是自然數”的規定,颠覆了人們對自然數的傳統認識。
于此,中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說:國際上對自然數的定義一直都有不同的說法,以法國為代表的多數國家都認為自然數從0開始,我國教材以前一直都是遵循前蘇聯的說法,認為0不是自然數。2000年教育部主持召開教材改編會議時,已明确提出将0歸為自然數。這次改版也是與國際慣例接軌。
從教學實踐層面來說,将“0”規定為“自然數”也有着積極的現實意義。
2.1 “0”作為自然數的“好處”
衆所周知,數學中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個元素的集合,像某班學生的集合。無限集合是含有的元素個數是非有限的集合,如分數的集合。因為自然數具有“基數”的性質,因此用自然數來描述有限集合中元素的個數是很自然的。
但在有限集合中,有一個最主要也是最基本的集合,叫空集{},元素個數為0。如果不把0作為自然數,那麼空集的元素的個數就無法用自然數來表示了。如果把“0”作為一個自然數,那麼自然數就可以完成刻畫“有限集合元素個數”的任務了。于此,從“自然數的基數性”這個角度,我們看到了把“0”作為自然數的好處。
2.2 把“0”作為自然數,不會影響自然數的 “運算功能”
“0”加入傳統的自然數集合,所有的“運算規則”依舊保持,如新自然數集合{0,1,2,…,n,…}中的任何兩個自然數都可以進行加法和乘法運算,而運算結果仍然是自然數。同時,加法、乘法運算的結合律和交換律,以及乘法的分配律也不會受到影響。
所以,“0”加盟到自然數集合實屬理所當然,而不僅僅是人為的“規定”。它讓我們更好地理解自然數和它的功能,同時也讓我們意識到教學時不僅要知道和記住數學的“定義”和“規定”,還應該思考“規定”背後的數學涵義。
什麼是有效數字一無效數字?
有效數字是對一個數的近似值的精确程度而提出的。同一個近似數如果在取舍時,保留的有效數字多,就比保留的有效數字少更精确。
一般說,一個近似數四舍五入到哪一位,就說這個近似數精确到哪一位。這時,從左邊第一個非零的數字起,到那一位上的所有數字都叫做這個數的有效數字。
如近似數0.00309有三個有效數字:3、0、9;0.520也有三個有效字:5、2、0。
而0.00309中左邊的三個零,0.520中左邊的一個零,都叫做無效數字。
加法與減法、乘法與除法是否互為逆運算?
“加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”這似乎成了許多老師的口頭禅,這其實是一種誤解。例如:
加法“2+3=5”,其逆算為“5-2=3”,“5-3=2”。
故此,加法的逆運算隻有減法;
減法“5-2=3”,其逆算有 “5-3=2”, “2+3=5”。
故此,減法的逆運算有減法和加法兩種運算。
綜上可知,隻能說減法是加法的逆運算,而不能說加法與減法互為逆運算。
同理,也隻能說除法是乘法的逆運算,而不能說乘法與除法互為逆運算。
為什麼不寫“倍”?
在學習“求一個數是另一個數的幾倍”應用題時,很多小朋友會自然提出這樣的疑問,如:“飼養小組養了12隻小雞,3隻小鴨,小雞的隻數是小鴨的幾倍?”為什麼“12÷3=4”的後面不寫“倍”呢?
我們首先應該肯定學生的質疑(學生有較強的解題規範意識)。但同時又該對學生說明:在解答應用題時,得數後面一般要寫上的是數的單位名稱
如:12隻的“隻”;8克的“克”。一個數隻有帶上單位名稱,才能準确地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是,“倍”不是單位名稱,它表示兩個數量之間的一種關系。例如,上面的計算結果“4”,表示12裡面有4個3,就是12隻小雞是3隻小鴨的4倍。
所以,在算式裡不寫“倍”,以免“倍”與單位名稱發生混淆。
“倍”和“倍數”的區别
在第一學段我們學習了“倍的初步認識”,認識了概念“倍”,而在第二學段,我們又學習到“倍數”這個概念。那麼,“倍”和“倍數”這兩個詞到底是不是一回事呢?這兩個詞之間有什麼區别呢?
“倍”指的是數量關系,它建立在乘除法概念的基礎上。例如:男生有10人,女生有30人,因為“10×3=30”或者“30÷10=3”,我們就說,女生人數(30)是男生人數(10)的3倍,也可以說,男生人數(10)的3倍等于女生人數(30)。勿甯說,“倍”其實表示的是兩個數的商(這個商可以是整數、小數、分數等各種表現形式)。
“倍數”指的是數與數之間的聯系,它建立在整除概念的基礎上。例如,30能被6整除,30就是6的倍數。可見,“倍數”是不能獨立存在的(具有特定的指向性),而且對數的形式有特别的要求(必須為整數)。
同時我們又看到,30也是6的5倍,因為6×5=30,“6×5”表示6的5倍。所以從這個角度來說,“倍”的涵義應寬泛于“倍數”,後者可以視為前者在特定情形下的一種表現。
“時”和“小時”有什麼不同?怎樣使用“時”和“小時”?
首先應該明确的是,〔小〕時并非國際時間單位。在1984年國務院發布的《關于我國統一法定計量單位的命令》中,把秒作為時間的基本單位,把非國際單位制的時間單位天(日)、〔小〕時、分作為輔助單位。
(注:〔〕裡的字,在不緻混淆的情況下,可以省略)。
這樣,在我國範圍内使用的法定時間單位就有:天(日)、〔小〕時、分、秒。
由此,“時”既可以表示時間,又可以表示時刻。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易産生混淆,在實際應用時間單位“時”時,現行教材作了如下處理:
7.1當列式計算出時間的長短時,在得數的括号裡寫上時間的單位“時”。例如:超市營業時間:21-9=12(時)。(此處可省略“小”字)
7.2在用語言表述時間的長短時,為避免“時間”和“時刻”這兩個概念産生混淆,則在“時”的前面加上一個“小”字。例如:超市營業時間12小時。
7.3 在用語言表示時刻時,一律不得出現“小時”字樣。例如:公園每天早上7時30分開園(而非7小時30分)。
“改寫”和“省略”是一樣的嗎?
從形式上看,此例将“改寫”與“省略”兩種對數的變化置于了同一個要求之下(即改寫成用“億”作單位的數)。我們真希望編者不是有意而為之,因為“改寫”與“省略”其本質是完全不同的。表現在:
8.1目的不同
“改寫”的目的是方便對大數的讀寫,而“省略”則是取數的近似值。
8.2方法不同
此處的“改寫”是去掉“億”位後面的0,再寫上一個“億”字,而“省略”除了要找準“億”位,還要考慮被省略的尾數的最高位是幾,然後用四舍五入法求出近似數。
8.3符号不同
“改寫”隻改變了數的表現形式,大小并未改變,所以用“=”号連接;而“省略”既改變了數的形式,又改變的數的大小,所以用“≈”連接。
“路程”就是“距離”嗎?
這兩個詞在許多老師的教學語言中是替代使用的,其實不然。
“路程”是指從一個地點到另一個地點所經過路線的長度;而“距離”則指連接兩個地點而成的直線段的長度。
“路程”所經過的路線可以是曲形線,也可以是直形線,還可能是折形線。
一般情況下,兩個地點之間的“路程”要大于它們之間的“距離”,隻有當兩個地點之間的路線為直線時,路程和距離才相等。
雖然老師們都知道這個等式是成立的,但我們的學生卻沒有相應的知識儲備,怎樣繞開”極限”尋找能為小學生所理解和接受的證明途徑。
最大的分數單位是1/2還是1/1?
先看看分數單位的含義:把單位“1”平均分成若幹份,表示這樣一份的數。
顯然,在分數意義中,關鍵是“分”,沒有“分”,就沒有“份”。
因為把單位“1”平均分成的最少份數是2份(如果是1份,也就無所謂“分”),由此得到的分數單位是1/2,所以1/2是最大的分數單位。
盡管就廣義的分數來說,1/1也可視作分數,但它已不是我們通常意義上認識的與整數對立的那種分數(在平均分的基礎上所産生),故此,最大的分數單位應以1/2為宜。
像 0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數是不是分數?
分數的定義明确告訴我們:把單位“1”平均分成若幹份,表示這樣一份或幾份的數,叫分數。其中,分成的份數叫做分數的分母,要表示的份數叫做分子。
由此可知,分數的分子和分母都應該是非零自然數。從這個意義來說,以上這幾個數徒具分數的形式,而不具分數的實質,因此都不應該視為分數。
進而,在考查學生對“分數”涵義的理解時,應着眼于通常意義上的分數,将上述這些變異形式納入思考的範圍,其本身對訓練學生的思維并無多大實際意義,而且會令諸如“分數都大于0”等命題的真與假陷入尴尬。
比6多1/2的數應該是“6 1/2”還是“6 (1 1/2)”
要弄清這個問題,先得弄清“6”的性質。顯然,此處的“6”其實質是一個“數”,而非一個“量”,求“比6多1/2的數”應屬于“求比一個數多幾的數”的範疇,問題中的“多幾”都是确定的具體數,這裡的“幾”既可以是整數,也可以是小數或分數。所以,這裡的“1/2”是指在6的基礎上“多1/2”這個“1/2”數的本身,而非“6的1/2”。
所以,“比6多1/2的數”應該是“6 1/2”。
當然,如果題目确定為“比6多它的1/2的數”,那答案則屬于後者。
計算出勤率可不可以不乘100%?
先來看看新人教版、北師大版和蘇教版三個不同版本的教材對類似問題的理解。
同一課程标準下,不同的教材給出了不同的理解,這給執教者帶來困惑:到底可不可以不乘100%呢?筆者以為,求“××率”其結果必定為百分率。以出勤率為例,就是求實際出勤人數占應出勤人數的百分之幾。
如果公式隻寫成:出勤率=實際出勤人數/應出勤人數,我們說這隻是分數形式(也即是求實際出勤人數占應出勤人數的“幾分之幾”),并不是百分數。
因此,在公式後面乘上“100%”,既可以使計算數值大小不變,又能保證結果形式滿足百分數的要求。因此,計算出勤率、發芽率、出粉率、合格率……的公式中,都應乘“100%”。
同時建議各版本教材的編委統一思想,以免給一線教師造成認識上的混亂。
小于90度的角都是銳角嗎?
根據課标教材定義:小于90度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的,但由此又産生一個新的問題:0度的角是什麼角,也是銳角嗎?
事實是,銳角定義有一個隐含的前提,就是小學數學中所讨論的角都是正角。習慣上,我們把射線按逆時針方向旋轉而得到的角叫做正角,射線按順時針方向旋轉而得到的角叫做負角,當一條射線沒有做任何旋轉時,就把它看成零角。如果将角的概念推廣到任意大小的角,就應分為正角、負角、和零角。
由此,嚴格意義上的銳角定義應是:大于0度而小于90度的角叫做銳角。
足球比賽記分牌上的“3︰2”是數學中的“比”嗎?
我們至少可以從兩個方面來理解它們的差别。
第一,球類比賽中的“3︰2”表示的是比賽雙方的得分情況,是“差”比,即表示相差關系,一方得3分,另一方得2分,雙方相差1分;數學中的“3︰2”表示的是“3÷2”,是“倍”比,商為1.5。有鑒于此,球類比賽中的“比”(其實是比分),其後數可以為0的,而數學中的“比”,其後數(相當于除數)是不可以為0的。
第二,數學中的“比”是可以化簡的,如“4︰2=2︰1”;同樣的“4︰2”放在球類比賽中,卻不可以化簡,如果化簡就不能反映雙方在比賽中的實際得分了。
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