通過構造直角三角形斜邊上中線，把線段最值問題轉化成三角形三邊關系來解決！

例1：RT△ABC，斜邊AB=6，頂點A、B分别在∠MON兩邊OM、ON上運動，且∠MON=90°，求線段OC的最大值。

簡析：O為定點，C為動點，OC為變量，通過構造直角三角形斜邊上中線，可得OM=CM=0.5AB=3,根據三角形三邊關系（兩邊和大于第三邊）：當O、M、C三點共線時取最大值，即：OC≤OM CM,得到OC最大值為6.

練習1 ：等邊△ABC，邊AB=6，頂點A、B分别在∠MON兩邊OM、ON上運動，且∠MON=90°，求線段OC的最大值。

練習2： 矩形ABCD,邊AB=6，BC=4,頂點A、B分别在∠MON兩邊OM、ON上運動，且∠MON=90°，求線段OD的最大值。

例2：已知RT△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2,D為△ABC内一動點，且滿足∠1=∠2，求線段AD的最小值。

簡析：通過導角，可證∠BDC=90°，AD長是個變量，由例1可知：取BC中點M，連DM、AM，可知DM、AM為定值，DM=0.5BC=1,勾股得AM=√13,根據三角形三邊關系，兩邊差小于第三邊，可知A、D、M三點共線時，AD取最小值，為√13-1.

練習3 ：已知△ABC中，AB=AC=10,BC=12,D為△ABC内一動點，且滿足∠BDC=90°，求線段AD的最小值。

練習4：已知RT△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，D為BC邊一動點，連AD,過C作CE⊥AD于E,連BE，求線段BE的最小值。

例3：已知△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，D為平面内一動點，且滿足∠ADB=90°，連CD，求線段CD的取值範圍。

簡析：法1，類比例1、2，取AB中點M,當C、M、D三點共線，且點M在線段CD上時,CD取最大值√3 1，當C、M、D三點共線，且點C在線段MD上時,CD取最小值√3-1，所以CD的取值範圍為：√3-1≤CD≤√3 1.如下圖：

法2，九年級隐圓，問題實質為：求圓内一點與圓上一點距離的最值！如下圖：

練習5：已知正方形ABCD,E為平面内一點，且滿足∠AEB=90°，求線段CE的取值範圍.

II通過構造直角三角形斜邊上中線結合中位線性質，把線段最值問題轉化成三角形三邊關系來解決！

例4：已知△ABC中，AB=4,BC=2,D為平面内一點且滿足∠ADB=90°，E為BC中點，連DE,求線段DE的取值範圍.

簡析：DE變量，取AB中點M,連EM,DM,由斜邊中線和中位線性質可知，EM、DM為定值，EM=0.5AC=1,DM=0.5AB=2,線段DM、EM、DE構成三角形，根據三角形三邊關系，可知：DM-EM≤DE≤DM EM，即：1≤DE≤3.如下圖：

練習6：已知RT△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=3,D為平面内一動點，且AD=2，連BD,E為BD中點，求線段BE的取值範圍。

III通過構造直角三角形斜邊上中線，轉化線段，根據垂線段最短來解決線段最值問題：

例5：已知：△ABC中，∠B=45°,∠C=60°，D、E分别為AB、AC邊上的一個動點，過D分别作DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,過E作EH⊥AB于H,EI⊥BC于I,連FG、HI,求證：FG與HI的最小值相等。

分析：本題圖形複雜，先分别提煉出與FG、HI相關圖形，思考：FG、HI該如何進行轉化？

從簡化後的圖形可以看出上一講的一類題型，共斜邊的兩直角三角形，容易聯想的輔助線：連接斜邊CD，并取其中點M,再連接FM、GM,易證：GM=0.5CD=FM,∠FMG=2∠ACB=120°，由基本圖形120°的等腰三角形三邊關系，1：1：√3 易知：FG=√3 FM=0.5√3 CD,所以當CD取最小值時FG最小.根據垂線段最短可知：當CD⊥AB時，CD取最小值。設BC=1，則：CD最小值=0.5√2,FG最小值=0.25√6

HI的最小值同理可得，設BC=1,則HI最小值=0.25√6=FG最小值.如下圖，

（推導過程由讀者自行完成）

練習7：已知等邊△ABC中，AB=6,D為AB上一個動點，過D分别作DF⊥AC于F,DE⊥BC于E,連EF,求線段EF的最小值。

小結：求線段最值問題的幾何解法初中階段必須要考慮到的應該是教材中的兩個公理的應用：兩點之間，線段最短和垂線段最短，本講通過構造直角三角形斜邊中線和中位線，讓要求的動線段與兩條定長線段組成三角形三邊，根據三角形三邊關系求出最值，或通過轉化找出動線段與已知定長線段之間關系再根據垂線段最短求出最值！

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