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三角形三條邊的長度之和

生活更新时间:2025-01-09 23:01:46

三角形的一個不等式

如圖三角形的三個邊為a, b, c, D是BC上的任意一點，且有AD2=BD.DC

證明不等式，√2a≧b c

三角形三條邊的長度之和（三角形中在約束條件下兩邊之和與第三邊長度的關系）1

這道題在前面的文章中證明了D是中點的情況下成立，參見在三角形中有一個約束的不等式，下面不失一般性，證明D是任一點的情況。

證明：令BD=x, CD=y, AD=r, 則根據已知有r2=xy

根據餘弦定理：

三角形三條邊的長度之和（三角形中在約束條件下兩邊之和與第三邊長度的關系）2

根據要證明的不等式形式，想到要用下列代數式的變換：

三角形三條邊的長度之和（三角形中在約束條件下兩邊之和與第三邊長度的關系）3

讀者自己按照餘弦定理，将b和c用x,y,r 等參數表達式子帶入，上面的兩個式子是有公因式的，設：

三角形三條邊的長度之和（三角形中在約束條件下兩邊之和與第三邊長度的關系）4

所以：

三角形三條邊的長度之和（三角形中在約束條件下兩邊之和與第三邊長度的關系）5

因此：

三角形三條邊的長度之和（三角形中在約束條件下兩邊之和與第三邊長度的關系）6

這裡為下面的等式成立，做個預先推導：

三角形三條邊的長度之和（三角形中在約束條件下兩邊之和與第三邊長度的關系）7

由此有下列的變換：

三角形三條邊的長度之和（三角形中在約束條件下兩邊之和與第三邊長度的關系）8

所以：

三角形三條邊的長度之和（三角形中在約束條件下兩邊之和與第三邊長度的關系）9

後記：當等号成立時候，有上面的證明過程可知，U=0，可知cosθ=(x-y)/2r=0的時候，此時x=y, θ=90°,這時候該三角形是個等腰直角三角形，因為r=x=y。這道題在前面的一篇文中談到了D是中點的情況，恰恰是這種特例。

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