第一章：線段、角、相交線、平行線

知識點：

一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是“直”和“向兩方無限延伸”。

二、直線的性質：經過兩點有一條直線，并且隻有一條直線，直線的這條性質是以公理的形式給出的，可簡述為：過兩點有且隻有一條直線，兩直線相交，隻有一個交點。

三、射線：

1、射線的定義：直線上一點和它們的一旁的部分叫做射線。

2．射線的特征：“向一方無限延伸，它有一個端點。”

四、線段：

1、線段的定義：直線上兩點和它之間的部分叫做線段，這兩點叫做線段的端點。

2、線段的性質（公理）：所有連接兩點的線中，線段最短。

五、線段的中點：

1、定義如圖1一1中，點B把線段AC分成兩條相等的線段，點B叫做線段圖1－1AC的中點。

1、角的兩種定義：一種是有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。要弄清定義中的兩個重點①角是由兩條射線組成的圖形；②這兩條射線必須有一個公共端點。另一種是一條射線繞着端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。可以看出在起始位置的射線與終止位置的射線就形成了一個角。

2．角的平分線定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，

這條射線叫做這個角的平分線。表示法有三種：如圖1—2

∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`

五、全等三角形的判定

1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）

注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。

2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角“或“ASA”）

3、推論有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊’域“AAS”）

4、邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）

由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質：三角形的穩定性。

除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個三角形全等。

5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊，直角邊”或“HL”）

六、角的平分線

定理1、在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

定理2、一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。

由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。

可以證明三角形内存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點（交于一點）

在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那麼這兩個命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個做原命題，那麼另一個叫它的逆命題。

如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理，其中一個叫另一個的逆定

理。

例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。

一個定理不一定有逆定理，例如定理：“對頂角相等”就沒逆定理，因為“相等的角是對頂角”這是一個假命顆。

七、基本作圖

限定用直尺和圓規來畫圖，稱為尺規作網＿

最基本、最常用的尺規作圖．通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。

1、作一個角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），從而得到對應角相等；

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．從而得到對應角相等。

3、經過一點作已知直線的垂線：（1）若點在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（2）若點在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點 C為圓心，适當長為半徑作弧交已知真線于A、B兩點，再以A、B為圓心，用相同的長為半徑分别作弧交于D點，連結CD即為所求垂線。

4、作線段的垂直平分線：

線段的垂直平分線也叫中垂線。

做法的實質仍是全等三角形（SSS）。

也可以用這個方法作線段的中點。

八、作圖題舉例

重要解決求作三角形的問題

1、已知兩邊一夾角，求作三角形 2、已知底邊上的高，求作等腰三角形

九、等腰三角形的性質定理

等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

例如：等腰三角形底邊中線上的任一點到兩腰的距離相等，因為等腰三角形底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的點到角的兩邊距離相等n

十、等腰三角形的判定

定理：如果一個三角形有兩個角相，那這兩個角所對的兩條邊也相等。（簡寫成“等角對等動”）。

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于3O°，那麼它所對的直角邊等于斜邊的一半。

十一、線段的垂直平分線

定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

十二、軸對稱和軸對稱圖形

把一個圖形沿着某一條直線折疊二如果能夠與另一個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關于這條直線軸對稱，兩個圖形中的對應點叫關于這條直線的對稱點，這條直線叫對稱軸。

兩個圖形關于直線對稱也叫軸對稱。

定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

定理2：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線。

定理3：兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長相交。那麼交點在對稱軸上。

逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關于這條直線對稱。

如果一個圖形沿着一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。

例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對稱軸，而等腰三角形是軸對稱圖形。

第三章：四邊形

知識點：

一、多邊形

1、多邊形：由一些線段首尾順次連結組成的圖形，叫做多邊形。

2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。

3、多邊形的頂點：多邊形每相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點。

4、多邊形的對角線：連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

5、多邊形的周長：多邊形各邊的長度和叫做多邊形的周長。

6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長，如果多邊形的其他各邊都在延長線所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。

說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形；有幾條邊的叫做幾邊形。今後所說的多邊形，如果不特别聲明，都是指凸多邊形。

7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的内角，簡稱多邊形的角。

8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做多邊形的外角。

注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點的内角的鄰補角。

9、n邊形的對角線共有

條。

說明：利用上述公式，可以由一個多邊形的邊數計算出它的對角線的條數，也可以由一個多邊形的對角線的條數求出它的邊數。

10、多邊形内角和定理：n邊形内角和等于（n－2）180°。

11、多邊形内角和定理的推論：n邊形的外角和等于360°。

說明：多邊形的外角和是一個常數（與邊數無關），利用它解決有關計算題比利用多邊形内角和公式及對角線求法公式簡單。無論用哪個公式解決有關計算，都要與解方程聯系起

來，掌握計算方法。

二、平行四邊形

1、平行四邊形：兩組對邊分别平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形性質定理1：平行四邊形的對角相等。

3、平行四邊形性質定理2：平行四邊形的對邊相等。

4、平行四邊形性質定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。

5、平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分。

6、平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

7、平行四邊形判定定理2：兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形。

8、平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

9、平行四邊形判定定理4：兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形。

說明：（1）平行四邊形的定義、性質和判定是研究特殊平行四邊形的基礎。同時又是證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。

（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個性質，又是平行四邊形的一個判定方法。

三、矩形

矩形是特殊的平行四邊形，從運動變化的觀點來看，當平行四邊形的一個内角變為90°時，其它的邊、角位置也都随之變化。因此矩形的性質是在平行四邊形的基礎上擴充的。

1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長方形）

2、矩形性質定理1：矩形的四個角都是直角。

3．矩形性質定理2：矩形的對角線相等。

4、矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。

說明：因為四邊形的内角和等于360度，已知有三個角都是直角，那麼第四個角必定是直角。

5、矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。

說明：要判定四邊形是矩形的方法是：

法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）

法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1）

法三：隻需證出三個角都是直角。（這是判定定理2）

四、菱形

菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。

1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2、菱形的性質1：菱形的四條邊相等。

3、菱形的性質2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

4、菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。

5、菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

說明：要判定四邊形是菱形的方法是：

法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。

法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2）

法三：隻需證出四邊都相等。（這是判定定理1）

（五）正方形

正方形是特殊的平行四邊形，當鄰邊和内角同時運動時，又能使平行四邊形的一個内角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。

1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。

3、正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

4、正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。

5、正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。

注意：要判定四邊形是正方形的方法有

方法一：第一步證出有一組鄰邊相等； 第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）

方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）

方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2）

六、梯形

1、梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的邊叫做下底）

3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。

4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。

5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

7、等腰梯形性質定理1：等腰梯形在同一底上的兩個角相等。

8、等腰梯形性質定理2：等腰梯形的兩條對角線相等。

9、等腰梯形的判定定理l。：在同一個底上鈎兩個角相等的梯形是等腰梯形。

10、等腰梯形的判定定理2：對角線相等的梯形是等腰梯形。

研究等腰梯形常用的方法有：化為一個等腰三角形和一個平行四邊形；或兩個全等的直角三角形和一矩形；或作對角線的平行線交下底的延長線于一點；或延長兩腰交于一點。

七、中位線

1、三角形的中位線連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。

2、梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形中位線。

3、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

4、梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

段。

三、相似三角形

1、相似三角形：兩個對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。

說明：證兩個三角形相似時和證兩個三角形全等一樣，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣便于找出相似三角形的對應角和對應邊。

2、相似比：相似三角形對應邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數）。

3、相似三角形的基本定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。

說明：這個定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎。

4、三角形相似的判定定理：

（1）判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那麼就兩個三角形相似。可簡單說成：兩角對應相等，兩三角形相似。

（2）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那麼這兩個三角形相似，可簡單說成：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。

（3）判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那麼這兩個三角形相似，可簡單說成：三邊對應成比例，兩三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似。

說明：以上四個判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正确的，在解題時，也可以用它們來判定兩個三角形的相似。

第一：頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似。

第二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

第三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線對應成比例，那麼這兩個三角形．相似。

5、相似三角形的性質：

（1）相似三角形性質1：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比。

（2）相似三角形性質2：相似三角形周長的比等于相似比。

說明：以上兩個性質簡單記為：相似三角形對應線段的比等于相似比。

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

說明：兩個三角形相似，根據定義可知它們具有對應角相等、對應邊成比例這個性質。

6、介紹有特點的兩個三角形

（1）共邊三角形指有一條公共邊的兩個三角形叫做共邊三角形。

（2）共角三角形有一個角相等或互補的兩個三角形叫做共角三角形，如圖4－6

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