三點共線與三線共點的證明方法

一、三點共線的常用證明方法

（一）利用平角180°

例1 如圖，點D是等腰直角三角形ABC内一點.将△ADC繞點C順時針旋轉90°得到△BEC，點D的對應點為點E.

（1）如果AD：CD：BD=1：2：3，求證：A，D，E三點共線；

（2）如果A，D，E三點共線，AD，CD，BD滿足什麼樣的關系？

解析：（1）連接DE，欲證A、D、E三點共線，隻需要證明∠ADE=180°，即證∠ADC ∠CDE=180°.

由旋轉，可知：CD=CE，∠DCE=90°，AD=BE，∠ADC=BEC，

所以△CDE是等腰直角三角形，

所以∠CDE=∠CED=45°，

因為AD：CD：BD=1：2：3，

所以可設AD=BE=a，CD=2a，BD=3a，

則DE=2√2a，

所以BE2 DE2=a2 8a2=9a2=BD2，

所以∠BED=90°，

所以∠CEB=135°=∠ADC，

所以∠ADE=135° 45°=180°，

所以A、D、E三點共線；

（2）逆着（1）的思路可知：如果A，D，E三點共線，AD，CD，BD滿足的關系是：AD2 2CD2=BD2.

（二）利用平行公理

例2 如圖，等邊△ABC中，D為AB邊上一點（點D不與點A、B重合），連接CD，将CD平移到BE（其中點B和C對應），将△BCD繞着點B逆時針旋轉至△BAF，求證：D、F、E三點共線.

解析：連接DE，DF，欲證D、F、E三點共線，隻需要證明DE，DF平行于同一條直線即可.

由平移可得：BE平行且等于CD，

所以四邊形BCDE是平行四邊形，

所以DE//BC；

由旋轉，得：BF=BD，∠DBF=∠DBC=60°，

所以△BDF是等邊三角形，

所以∠BDF=60°=∠DBC，

所以DF//BC，

由平行公理可知DE、DF是同一條直線，

所以D、F、E三點共線.

二、三線共點的常用證明方法

（一）轉化為三點共線的證明

例3 如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，P是BC延長線上一點，連接AP.點M是線段AP上的點，滿足∠AMC=120°，求證：直線AB，CM，PD相交于同一點.

解析：首先設AB、CM相交于點O，連接OD，則欲證直線AB，CM，PD相交于同一點，隻需要證明O、D、P三點共線即可.

因為四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，

所以△ABC和△ACD都是等邊三角形，

所以∠CAD=60°，

即∠CAM ∠MAD=60°，

因為∠AMC=120°，

所以∠CAO ∠ACO=60°，

所以∠MAD=∠ACO，

又因為AD//BP，

所以∠MAD=∠APC，

所以∠ACO=∠APC，

又∠OAC=∠ACP=120°，

所以△ACO∽△CPA，

所以AC：CP=AO：AC，

因為AC=CD=AD，

所以CD：CP=AO：AD，

因為∠OAD=∠DCP=60°，

所以△OAD∽△DCP，

所以∠ODA=∠DPC，

所以∠ODP=∠ODA ∠ADC ∠CDP

=∠DPC ∠DCP ∠CDP

=180°，

所以O、D、P三點共線，

所以直線AB，CM，PD相交于同一點O.

（二）利用同一法則

例4 如圖，矩形ABCD中，E是BC上的動點，延長EB到F，使BF=BE，G為AD的中點，求證：直線AE，BG，DF三線共點.

解析：設AE、DF相交于點O，連接BO并延長交AD于H，則欲證直線AE，BG，DF三線共點，隻需要證明BG和BH是同一條直線，即證點H是AD的中點即可.

因為AD//BC，

所以△OAH∽△OBE，

所以AH：BE=OH：OB，

同理，DH：BF=OH：OB，

所以AH：BE=DH：BF，

因為BE=BF，所以AH=DH，

所以H是AD的中點，

因為G是AD的中點，

所以BH和BG是同一條直線，

所以直線AE，BG，DF三線共點.

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