幻方，也稱九宮格，宋代數學家楊輝稱之為縱橫圖，是我國一種傳統數字遊戲。幻方是将從1到若幹個數的自然數排成縱橫各為若幹個數的正方形，使在同一行、同一列和同一對角線上的幾個數的和都相等。古時候幻方經常在官府、學堂等場所出見，後來通過印度、阿拉伯等地傳到西方，因其奇幻的特性，被稱為Magic Square，即"幻方"或"魔方"。

傳說上古伏羲氏時，有龍馬從黃河裡跳出來，背上負着河圖；有神龜從洛水裡跳出來，背上負有洛書。伏羲氏根據河圖、洛書演化成八卦。洛書便是最早的幻方，用現代數學語言解釋，就是用1~9九個數字，填在九個格子裡，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數字的和都等于15。

洛書被世界公認為組合數學的鼻祖，它是中華民族對人類的偉大貢獻之一。同時，洛書以其高度抽象的内涵，對中國古代政治倫理、數學、天文氣象、哲學、醫學、宗教等等都産生了重要影響。在遠古傳說中，于治國安邦上也具有積極的寓意。包括洛書在内的幻方自古以來在亞、歐、美洲不少國家都被作為驅邪避兇的吉祥物。

最早将數字與洛書相連的記載是2300年前的《莊子·天運》，它認為"天有六極五常，帝王順之則治，逆之則兇。九洛之事，治成德備，監照下土，天下戴之，此謂上皇"。遠古時代，伏羲依靠河圖畫出八卦，大禹按照洛書劃分九州，并制定治理天下的九類大法，聖人們根據它們演繹出各種治國安邦的良策，對人類社會與自然界的認識也得到步步深化。大禹從洛書中數的相互制約，均衡統一得到啟發而制定國家的法律體系，使得天下一統，歸于大治，這就是"借鑒思維"的開端，這種活化思維的方式已成為現代科學靈感的來源之一。中國不僅擁有幻方的發明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。從洛書發端的幻方在數千年後更加生機盎然，被稱為具有永恒魅力的數學問題。十三世紀，中國南宋數學家楊輝在世界上首先開展了對幻方的系統研究，并編制出三至十階幻方，記載在他1275年寫的《續古摘廳算法》一書中。

歐洲十四世紀也開始了這方面的工作。著名數學家費爾瑪、歐拉都進行過幻方研究，但直到1514年，德國著名畫家杜勒才繪制出了完整的四階幻方。直到十五世紀，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中國的縱橫圖傳給了歐洲人，歐洲人認為幻方可以鎮壓妖魔，所以把它作為護身符，也把它叫作【Magic Square】。1977年，四階幻方還作為人類的特殊語言被美國旅行者1号、2号飛船攜入太空，向廣袤的宇宙中可能存在的外星人傳達人類文明信息與美好祝願。

《射雕英雄傳》裡面有一個情節，郭靖帶着受傷的黃蓉四處求高人療傷，遇見瑛姑。瑛姑也愛好各種奇門術數，但是花了好多年卻解不出一個三階幻方。這個三階幻方也就是"洛書"，它有三行三列，九個空格分别填上一到九這九個數字，使得每行、每列、每條對角線上三個數的和都相等。

黃蓉是黃老邪的女兒，古靈精怪，自然也精通此道，很快告訴了瑛姑答案。于是瑛姑就告訴郭靖黃蓉可以找段皇爺療傷。當然瑛姑其實也是為了找段皇爺尋仇。這是後話。其實三階的幻方太簡單了。我倒覺得金庸可以可以把這一段情節改成瑛姑解的是一個五階幻方，就是五行五列的幻方，甚至是七行七列的幻方，這樣花十幾年解不出也情有可原，難度大些，瑛姑也不至于顯得那麼笨。不知道金庸是不是為了襯托黃蓉的聰明？她的口訣是：九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。

用數學語言表述，幻方是指在n×n(n行n列)的方格裡，既不重複又不遺漏地填上n個連續的自然數，每個數占一格，并使排在任一行、任一列和兩條對角線上的幾個自然數的和都相等，這個和叫幻和，n叫幻方的階，這樣的數表叫n階幻方。下面介紹構造幻方的最簡單方法。

1.如果一個n×n矩陣（教材中表現為方格圖）的每行，每列及兩條對角線的元素之和都相等，且這些元素都是從1到n的自然數，這樣的矩陣就稱為n階幻方．有關幻方問題的研究在我國已流傳了兩千多年，這是一類形式獨特的填數字問題．下面介紹一種構造三階幻方方法﹣﹣﹣楊輝法：（如圖（1））口訣："九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出"

學以緻用：

（1）請你将下列九個數：﹣18、﹣16、﹣14、﹣12、﹣10、﹣8、﹣6、﹣4、﹣2，分别填入方格1中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等；

（2）将方格2中左邊方格中的9個數填入右邊方格中，使每一行、每一列、每條對角線中的三個數相加的和相等；

（3）将9個連續自然數填入方格3的方格内，使每一橫行、每一豎行及兩條對角線的3個數之和都等于60；

（4）用﹣3～5這九個數補全方格4中的幻方．

【分析】（1）讀題意，按照口訣："九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出"，即可得出結論；

（2）按照口訣："九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出"，即可得出結論；

（3）根據已知，算出該9個連續自然數，按照口訣："九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出"，即可得出結論；

（4）按照口訣："九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出"，即可得出結論．

【解答】（1）按照口訣："九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出"

得出方格1：

（2）按照口訣："九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出"

得出結論：

（3）設9個連續自然數中第5個數為x，由已知可得：9x＝60×3，解得：x＝20．

故這連續的九個數為：16，17，18，19，20，21，22，23，24．

按照口訣："九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出"

得出方格3：

（4）按照口訣："九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出",得出方格4：

【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及構造三階幻方方法﹣﹣﹣楊輝法的應用，解題的關鍵是讀懂題意，按照口訣一步步的變換．本題屬于中檔題型，有點難度，解題過程中有巧妙的辦法，即利用給定的例題，再找出所以填寫的9個數的中位數，看二者相差多少，再去給定的四維挺出表格中做相應的變動即可．

2.問題探究：為了探究上述問題，我們不妨從簡單的三階幻方①入手；

探究一:如圖②，九個數2，3，4，5，6，7，8，9，10已填到方格中，顯然每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等，構成了一個三階幻方②，所以構成三階幻方①的九個數同時加1，所得到的九個數仍可構成一個三階幻方．

如圖③，九個數﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6已填到方格中，顯然每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等，構成了一個三階幻方③，所以構成三階幻方①的九個數同時減3，所得到的九個數仍可構成一個三階幻方．

請把九個數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，7.5，8.5填到圖④的方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等，構成了一個三階幻方④，所以構成三階幻方①的九個數同時減0.5，所得到的九個數仍可構成一個三階幻方．

（1）根據探究一可得任意三階幻方的性質（1）： ．

探究二：如圖⑤，九個數3，6，9，12，15，18，21，24，27已填到方格中，顯然每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等，構成了一個三階幻方⑤．所以構成三階幻方①的九個數同時乘3，所得到的九個數仍可構成一個三階幻方．

如圖⑥，九個數0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5已填到方格中，顯然每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等，構成了一個三階幻方⑥．所以構成三階幻方①的九個數同時除以2，所得到的九個數仍可構成一個三階幻方．

請把九個數﹣4，﹣8，﹣12，﹣16，﹣20，﹣24，﹣28，﹣32，﹣36填到圖⑦的方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等，構成了一個三階幻方⑦．所以構成三階幻方①的九個數同時乘﹣4，所得到的九個數仍可構成一個三階幻方．

（2）根據探究二可得任意三階幻方的性質（2）：_____________ ．

性質應用：

6，8，10，12，14，16，18，20，22這九個數能否構成三階幻方？請在圖8中用三階幻方的性質進行說明．

【分析】（1）根據圖②、③的作法将九個數同時減0.5填到圖④中相應位置，類比等式性質得出規律即可；

（2）根據圖⑤、⑥的作法将九個數同時乘﹣4填到圖⑦相應位置，可類比等式的性質得出規律；将1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數先乘以2、再加上4即可得出結論．

【解答】（1）如圖④，

由題意知，三階幻方的性質（1）構成三階幻方的九個數，每個數同時加或減同一個數，所得到的九個數仍能構成三階幻方．故答案為：構成三階幻方的九個數，每個數同時加或減同一個數，所得到的九個數仍能構成三階幻方；

（2）如圖⑦，

由題意得：三階幻方的性質（2）構成三階幻方的九個數，每個數同時乘同一個數或除以同一個不為0的數，所得到的九個數仍能構成三階幻方．故答案為：構成三階幻方的九個數，每個數同時乘同一個數或除以同一個不為0的數，所得到的九個數仍能構成三階幻方．

先将三階幻方的九個數1，2，3，4，5，6，7，8，9，每個數都乘2，得2，4，6，8，10，12，14，16，18，

根據三階幻方性質②，2，4，6，8，10，12，14，16，18能構成三階幻方．

再将2，4，6，8，10，12，14，16，18，每個數都加4得6，8，10，12，14，16，18，20，22，

根據三階幻方性質①，6，8，10，12，14，16，18，20，22能構成三階幻方．

所以，6，8，10，12，14，16，18，20，22這九個數能構成三階幻方，

如圖⑧，

【點評】本題主要考查數字的變化類，理解題意類比等式的性質是解題的關鍵．

幻方之美在于其内在的數學原理，在于其外在的完美形态，更在于它無窮無盡的變幻。每個幻方以整齊劃一、均衡對稱、和諧統一的特性，迸發出耀人的數學之美的光輝。如今，幻方仍然是組合數學的研究課題之一，經過一代代數學家與數學愛好者的共同努力，幻方與它的變體所蘊含的各種神奇的科學性質正逐步得到揭示。在種類上，更加可以細分為完全幻方、乘幻方、多階幻方、高次幻方，以及反幻方等。當前，幻方已在組合分析、實驗設計、圖論、數論、群、對策論、紡織、工藝美術、程序設計、人工智能等領域得到廣泛應用。可以說，來自遠古的幻方，将帶領人類走向更高智能的未來。

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