探索宇宙奧秘是一個永恒的話題，由此産生的天文學更是一門深奧難懂的學科，所以我們常常用“上知天文，下知地理”來表達一個人的博學。

天文望遠鏡

涉及天文必不可少的是對海量觀測數據的處理與計算，以及對三角形、球體、圓等幾何元素性質的研究。“勾股定理”是人們發現的最早一個關于直角三角形的性質。

如圖，在Rt△ABC中，已知其中兩邊a,b，可以求得第三邊。但是如果在Rt△ABC中，已知一個角（如，A=3°）及一條邊c（如，c=60），如何計算邊a及b的值呢?（*）

對于古人來說，這不是一個簡單的問題，但是基于航海（根據恒星位置來确定夜晚時間，需要測距）等實際需要，他們必須克服困難。公元前2世紀，古希臘著名數學家喜帕恰斯（Hipparchus）邁出了最重要的一步。

Hipparchus

Hipparchus是公元前2世紀古希臘著名的天文學家，關于他的生平我們知之甚少，學術成就也主要都來自Ptolemy的記錄。Hipparchus首先使用“緯度和經度”來确定地球上地點的位置，倡導古巴比倫人的将圓分成360°的劃分法，并且曾編過850個恒星的目錄，但這些都不足他下面的這個成就引人注目。

為了解決（*），Hipparchus将Rt△ABC放到圓中來研究。如圖一，易知弧BC所對圓心角∠COB是圓周角∠A的兩倍，記為∠COB=2∠A=2α。

Hipparchus使用60進制，并取直徑|AB|=120，周角為360°，結合幾何的方法将弦長|BC|表示為2α°弧BC的函數，并制作成“弦表”。

可惜此原表早已遺失，我們隻能從托勒密Ptolemy的《天文學大成》（Almagest）一書中了解改進以後的“弦表”及其推導過程。詳情見附錄[1].

圖一（半徑|AB|=120）

《天文學大成》（Almagest）第二卷載有現存最古老的“弦值表”。如下圖，表格左邊三列為希臘文，右邊三列為譯文。Arcs指有一定角度的弧長、chords指對應的弦長，從“弦表”知，Arcs=4°時，chords=4;11.16≈4.187778. 即，4°弧長所對應的弦長值約為4.187778，我們用符号ch( 4°)≈4.187778表示。

【注】：4;11.16為60進制計數法，轉換為10進制，4;11.16=4 11/60 16/3600≈4.187778

Almagest中的“弦表”相當于給出了0-90°的每隔15′的正弦值

那這與解Rt△ABC有什麼關系呢？我們再次回到圖一，ch( 4°)≈4.187778，相當于在直徑|AB|=120的圓中，圓周角2α=4°所對弦長|BC|≈4.187778. 到這裡，估計大家也發現了，這不就是我們學習的“正弦”的變形嗎？ ch(4°)與sin(2°)的關系如下

圖一（半徑|AB|=120） 右圖α=2°

有了Hipparchus的“弦表”，我們能輕松解決前文提出的問題：在RT△ABC中，已知A=3°，c=60，求a的值。根據“弦表”，ch(6°)=6；16.49≈6.28027778，則

解決了直角三角形問題，那如果是銳角、鈍角三角形又如何根據“弦表”求邊長呢？Hipparchus有一個漂亮的想法——通過作高線可以轉換為直角三角形，然後查表計算。如圖二，如果已知∠A及邊a、c,解邊b的步驟如下：

1. 作BG⊥AC，根據∠A計算出∠ABG,查“弦表”，并計算|AG|

2. 勾股定理計算|BG|.勾股定理得|CG|。

3. 因此b=|AG| |CG|

圖二 銳角和鈍角三角形的情形

太漂亮了！利用“弦表”并結合“勾股定理”，Hipparchus能很順利的解三角形的邊或角，也即球面三角形中弧與弦的轉換，而這其中扮演重要角色的就是“正弦”。Hipparchus的“弦表”讓一門全新的學科——“三角學”誕生了，所以後世将Hipparchus稱為“三角學之父”。

根據上面的叙述我們知道，Almagest中的“弦表”建立在“圓”的基礎上，描述了2α°弧BC與其對應弦長|BC|的關系。到了公元5世紀，印度數學家阿耶波多（Āryabhaṭa）意識到實際應用中隻需要考慮弧BC對應的半弦長|BD|。

阿耶波多（Āryabhaṭa）是迄今所知最早的印度數學家，著有《阿耶波多文集》，由于他對科學的巨大貢獻，1976年,印度将其第一顆人造衛星命名為“阿耶波多人造衛星”。

在三角學上，Āryabhaṭa将圓周等分為360*60=21600等分，根據周長21600=2πR，取R≈3438（此處理方式可看成“弧度制”的雛形）。據此得到α=3°45′時，|BD|的值為225。用符号表示：jya（3°45′）=225。

因為sinα=jyaα/3438，取R≈3438，這裡的|BD|類似于中學課本中的角α的“正弦線”，從“弦長|BC|”到“半弦長|BD|”，Āryabhaṭa離現代意義下的“正弦”概念隻差一步，而這一步屬于10世紀的阿拉伯數學家艾布*瓦法（Abu a1-Wafa’，940～998）。

Wafa對“正弦表”作了一個深刻的改進，在Āryabhaṭa“半弦”的基礎上，Wafa不再使用“半弦”來作表，而是使用了“半弦”與半徑的比值|BD|/|BO|,這正是α°在現代意義上的“正弦值”。除了對概念的改進以外，wafa得到的“正弦值”精度也着實厲害，以sin30′為例，wafa計算得到60進制下的值為31；24；55；54；55，轉化為十進制是0.008726536673.這與sin30′的精确值相比要直到小數點後9位才有出入。

但是，Wafa的“正弦表”依然建立在“圓”的基礎上，這裡的角度α°依舊是指α°弧。到此，“正弦函數”基本成型，但是依舊是存在于“天文學”著作中，數學家們的下一步工作是将“正弦表”變得更加精确，并讓以“正弦函數”為代表的“三角學”從“天文學”中解放出來。

13世紀，阿拉伯數學家納西爾.丁(Nasir ad-Din, 1201-1274)的兩部數學著作——《橫截線原理》和《論四邊形》，内容盡管很平常，但是它仍值得我們記住，因為它們最早把“三角學”作為獨立的學科進行論述，使“三角學”脫離了“天文學”。自此以後，三角學在韋達等著名數學家的大力推廣下，得到了前所未有的發展，其中包括大量的三角函數公式的發現與證明，以及17世紀以後的“多元發展”、20世紀的概念歸一統，這裡摘取部分重要節點。

（一）.16世紀以前，“正弦函數”都是在“圓”内讨論的，哥白尼的得意門生——奧地利數學家雷提庫斯（Rhaeticus，1514—1574）的《三角學準則》改變了這一格局，将正弦函數的定義直接建立在“直角三角形”上，即sinα=對邊/斜邊。這是我們在中學時候學習的定義。但遺憾的是，17、18世紀的數學家并沒有關注他的定義方式，而是繼續使用“圓”内的線段來表示“正弦”.

（二）.18世紀，英國著名數學家威爾森将角度從銳角推廣到鈍角、辛普森（ T.Simpson）開始考慮鈍角所對三角函數的正負問題.

（三）.18世紀，歐拉在《無窮小分析引論》中首次用單位圓來定義“正弦函數”

（四）.19世紀，“正弦函數”的定義呈現多元化态勢，角度被推廣到任意角。到了20世紀，基于直角坐标的“終邊定義法”在多種定義中脫穎而出，“幾何線段”定義則被人們遺棄.也正因為如此，數學家們開始更多的關注“正弦函數”的圖像與性質.

附錄【1】.《古今數學思想1》(M·克萊因).上海科學技術出版社.2009

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