筆者繼續來講線性代數，今天我們主要深入講解矩陣乘法：矩陣和矩陣相乘，矩陣和向量相乘的意義和數學實質。
老規矩，讓我們開門見山，先舉個矩陣相乘的例子：
這個乘法究竟有什麼意義呢？為什麼要這樣乘呢？乘出來的向量或者矩陣又代表什麼呢？
線代教育家 吉爾伯特.斯特朗
這件事情要從線代這門課做的其中一項工作“線性變換”說起，線性變換實際上指的是坐标系的拉伸，旋轉之類的變換，但不包括扭曲，扭曲可就成非線性了。
我們先來看二維坐标系：
i，j是這個坐标系的基底向量，意思就是說這個坐标系的所有向量用這兩個基底 i 和 j來表示
該坐标中所有的向量都能用這個簡單的式子表述
線性代數主要是幹什麼事情呢？，它要你把這個直角坐标系變成不一定是直角的斜坐标系（斜坐标系原點0不能變，單位尺度間隔不變，必須具有線性），然後用這個新的坐标系表示出新的向量：
黑色坐标系變成紅色坐标系，基底發生了改變
那這個線性變換究竟是改變了什麼呢——表述新坐标系的基底發生了改變
新的i’和j’描述的是斜二維坐标
新的i’和j’描述的是斜的二維坐标。
于是說法就出來了：
第一列的 （1，3）向量可以被認為是新的i向量i’，隻不過它是二元的，比之前的i基底向量長，還多了個j方向：
第二列的 （2，4）向量可以被認為是新的j向量j’，隻不過它是二元的，比之前的j基底向量長，還多了個i方向：
那麼這個結果是什麼意思呢？
你應該已經大緻有這種感覺了：在我們的直角坐标系裡的（2，3），放進斜坐标系就成了（8，18）了。我們把直角坐标的向量放進斜坐标裡，原來的向量的大小和方向都發生了改變。
那這個是什麼意思呢？
按照上面的理解，它其實是兩種不同的線性變換的疊加，最終得到一種新的複合線性變換。
于是你大概猜到了：三階矩陣的意義就是空間向量的拉伸。原來在某個坐标系裡的（4，5，0）通過某個斜的三維坐标系變成了（9，18，32）
歪斜的線性變換空間坐标
因此，矩陣和矩陣相乘的本質是坐标系的線性變換，矩陣和向量相乘的本質是向量的線性變換。
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