在數學的學習過程中，我們總是遇到各種常數：π、√2、e...，其中π是圓周率，即一個圓的周長和它的直徑之比；√2是畢達哥拉斯常數，有一種認識就是√2是兩個直角邊都為1的直角三角形的斜邊長度。

對于前兩個數，我們大多數人都有很直觀的理解，對于e我們在高中階段的指數函數部分也接觸過，并且知道它的值是2.718...可是這個e到底是如何引出的呢，是否具有一些具體的數學含義？

我們先看一個數學問題：小明向銀行存入1元，年利率為100％（這裡的本金和利率隻是一種理想的數學模型），那樣一年後小明的本金加利息一共是2元。現在我們換一種計算方式：半年的利率減少為50％，則半年的利息為0.5元，半年結一次帳，這樣一年後的本金加利息就是1.5×1.5=2.25元，小明得到的錢比結一次賬要多。那麼一年結賬 3次、4次...呢？

我們試着計算一下結賬3次後的錢是：（1 1/3）^3=2.37...

結賬4次之後的錢是：（1 1/4）^4=2.44...

這樣看來，随着結賬次數的增加得到的錢似乎真的是越來越多呢，那是不是意味着我們隻要不但把次數增加，就可以用1元的本金換取無窮的錢呢？

我們把結賬次數直接增加到1000，看看會發生什麼：（1 0.0001）^1000=2.71692....

“怎麼會這麼小呢，”你可能會這樣嘀咕道，當次數為1000的時候，錢也沒有超過3，這似乎有點不符合我們的認識，這又是怎麼回事呢？可能已經有人發現問題了，盡管次數越來越大，得到的錢也越來越多，但是這個錢似乎是有上限的，它總是小于某一個數的。跟這一種情況類似的就是無限循環小數2.9（9循環），雖然小數點後位是不斷增大的，但它永遠小于3。可見，在有些單調遞增的過程中，函數值可以無限大，而有的過程卻是存在上界的。關于這個存在上界的數學過程，還有一個很有名的“芝諾的烏龜”的故事，筆者在這裡就不深入說明了，有興趣的讀者可以自行去了解一下。

在數學中，我們引入極限的概念來嚴格描述這種趨近卻又無法達到的情形，例如2.9循環的極限就是3。而對于上述銀行存款的問題，我們定義了當x趨于無窮時（1 1/x）^x的結果就是e，自然對數的底由此誕生了。

知道了它的由來後，你可能會想問那麼這個e有什麼用處呢，不就是一個無理數嗎？下面筆者來簡單說明和介紹一些與e相關的數學公式。

1.歐拉公式

歐拉公式的典型形式

最完美的數學式，将e、 π、i和1組合在了一起，揭示了指數函數與三角函數、複數之間的關系。

2.高斯分布

正态分布的概率密度表達式

其中a是獨立變量的數學期望，σ是标準差，根據中心極限定理，任何大量的獨立變量之和都趨于正态分布，而在物理學中很多分布也和正态分布有着密切的聯系，比如大名鼎鼎的玻爾茲曼分布。

下一期重點介紹一下指數函數和它的應用。

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