• 二元線性方程
• 三元線性方程
• 線性不等式

線性方程

在社會快速步入5G和物聯網的時代，汽車行業正在發生着深刻的變革，尤其是AI和自動化駕駛、導航技術的結合讓汽車更智能。這些技術的基礎是數學方程的應用。本章學習如何解線性方程，以及多元方程及其圖像。

二元線性方程

之前我們介紹了一元方程的求解，這裡我們解二元方程需要用到方程組的概念。

方程組：兩個及以上線性方程的組合

如果隻是求2x y = 7 或者 x - 2y = 6的解，那麼它們都有無窮個解，且都是一條直線。把它們組成方程組求解，則是找到兩個方程的公共解(兩條直線的交點)。

求方程組的解有三種方法

• 圖像的方法：圖像是否有交點

如上圖例，相交的兩直線對應的方程組有一個解；平行的兩直線對應的方程組無解；重疊的兩直線對應的方程組有無數個解。

1. 至少有一個解的方程組稱為相容方程組，無解的方程組稱為不相容方程組。
2. 方程組中各個方程有各自的解集，如：兩直線有一個交點或者平行，稱之為方程相互獨立；方程組中一個方程所有解也是另一個方程的解，即兩直線完全重疊，稱之為相關方程組。

雖然用直觀圖像的方式得到方程組的解很方便，但在坐标系中顆粒度很小或者有非整數解等情況下，很難直觀的得到解。

• 代換的方法：把方程中一個變量用另一個變量表示，然後代入到其它方程求解

• 消元的方法：根據加減乘除的性質将方程組中變量減少，再求解的過程

這裡通過兩個方程式相加，消去變量y，5x = 5 可得 x = 1。然後再把x = 1代入其中一個方程求y的解即可。消元思路就是把兩個方程通過加減乘除消掉其中一個變量，并求解另一個變量的解，然後再将得到的解代入其中任一方程中求另一個變量的解。

三元線性方程

與二元類比，三元線性方程的一般式為Ax By Cz D = 0，它的解是(x，y，z)。這就意味着無法在二維坐标系中找到解對應的位置，需要三維空間定位它的位置。一個三元線性方程的解是一個平面，要找到三元線性方程組的解就是找這些平面的交點。

三元方程組隻有一個解

三元方程組無解 - 1

三元方程組無解 - 2

三元方程組無解 - 3

三元方程組無解 - 4

三元方程組無窮個解 - 1

三元方程組無窮個解 - 2

三元方程組無窮個解 - 3

找到一組解使三個三元方程同時成立稱為解三元方程組。解三元線性方程有三種方式

1. 綜合運用解二元線性方程的消元法和代換法進行降維求解。
2. 消元法的另一種簡單表示形式：矩陣求解
3. 行列式求解

方法1請參考二元方程的求解過程，把消元、代換結合應用，不再贅述。方法2需要了解什麼是矩陣。矩陣是将數字按行列排列的矩形數組。m行n列的矩陣讀作m*n矩陣，其中每一個數字稱為矩陣的元素或實體。如下

3 * 4 矩陣：3行4列

用矩陣表示線性方程組，我們需要把方程組中各個方程寫成統一的一般式，然後将各項中的系數按列排成縱列構成矩陣。

方程組用矩陣表示：相同變量的系數排成一列

将矩陣轉為方程組形式

以上兩個例子中的矩陣稱為方程組的增廣矩陣。方程組以增廣矩陣表示後我們可以通過行變換的方式(目的是為了消元)求解。

• 兩行互換
• 一行乘以非0倍數
• 将一行乘以非0倍數加到另一行中

兩行互換

第二行乘以-3倍

第二行乘以-3倍并加到第一行中

對于相容且相互獨立的方程組，增廣矩陣通過行變換後可得到梯形矩陣，即矩陣中非常數項系數構成的部分對角線元素為1，對角線左下方元素都為0。

a、b、c、d、e、f 都是實數

梯形矩陣用方程組來表示，再求解

上圖例中梯形矩陣轉為方程組在求解

增廣矩陣作行變換變梯形矩陣的一般思路

第一行第一個元素變1；第二行第一個變0，第二個變1；依次進行

前面是相容且獨立方程組的矩陣應用，确切地說是隻有一個解的情況。那麼對于不相容或相關的方程組怎麼應用矩陣呢？

經過行變換，左邊方程組無解，右邊有無窮個解

方法3行列式求解。首先了解一下什麼是方陣？行、列數相同的矩陣叫方陣。每一個方陣都有一個相關實數，它是行列式的值。

方陣的行列式，它的值ad-bc

求一個3*3方陣對應行列式的值，就要先得到行列式中一個元素的餘子式。行列式中一個元素的餘子式是去掉該元素所在的行和列後，餘下的元素構成的行列式。

不同元素的餘子式

3*3矩陣第一行各元素的代數餘子式

行列式中不同元素項對應的符号

克拉默規則是用行列式求解方程組的方法，可通過消元法求解一般形式的方程組得到。以二元和三元線性方程組為例

克拉默規則

這裡要注意：當D = 0時克拉默規則就無法應用，同時它意味着方程組中的方程是不相容或者相關的。

線性不等式

關于線性不等式特别是二元線性不等式，可參考【函數及其圖像】中所講的方法來确定不等式解範圍。

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