作者 | 雷勇

本文首發于2019年2月《科學畫報》新知版

小時候，小朋友們比賽互相喊一個更大的數，最後總有小朋友喊“無窮大”。無窮，不細想的話，感覺很熟悉。記得上次跟一位學物理的同事談起無窮問題，我跟他聊了下康托爾的無窮基數，他聽後的評價是“我咋覺得這麼‘唯心’呢”。由此也看出，無窮其實非常的抽象，看不到摸不着，它隻存在于我們的心智之中。最近剛剛讀了美國布朗大學數學教授、數學科普作家理查德·伊萬·施瓦茨的《無窮的畫廊》一書，他讓抽象的無窮以盡可能實在的方式呈現在我們面前。

《無窮的畫廊》用簡潔明了的語言，将數學集合理論絲絲入扣但又栩栩如生地展現在讀者的面前。繪制卡通是作者的愛好，他的簡潔而飽含邏輯和哲理的文字，輔以漂亮而又富有生趣的卡通，與集合論抽象的概念、符号和公式巧妙結合，渾然構成一個整體，如一個視覺的畫廊，又如一個充滿懸念而富有挑戰的思想偵探。這确實帶給我們一種驚喜。孫小淳與王淑紅兩位教授把它翻譯成中文，為大家閱讀該書進一步提供了便利。

其實人們在數學上最早接觸無窮多是從

我們見到的對無窮的困惑最早來自古希臘數學家芝諾，他提到這樣一個問題。

“阿基裡斯（又名阿喀琉斯）是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜的競賽中，他的速度為烏龜的十倍，烏龜在前面100米跑，他在後面追，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當阿喀琉斯追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，于是，一個新的起點産生了；阿喀琉斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米，阿喀琉斯隻能再追向那個1米。就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，但隻要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜！”

人們都覺得他說的是錯的，但是又找不到角度反駁他。

其實所有的這些困惑，都是因為人們對無窮的理解不夠準确，沒有意識到有限和無限存在着巨大的差别。《無窮的畫廊》這本書就是試圖引領着讀者揭示無窮的秘密。

書裡先從一一映射開始講起。兩個有限集合裡面的元素個數，我們很容易比較多少。但是兩個無限集裡面的元素個數的多少就無從比較。簡單地認為無限集裡面的元素個數相等，是沒有依據和不負責任的。解決無限集中元素個數多少的問題，借助的工具就是一一映射。作者舉了兩個例子：

“在一場音樂會上，是人多還是椅子多？隻要讓每人挑一把椅子坐下，看看是剩下椅子還是有的人沒有座位。”

“是口香糖多還是孩子多，真的數數太麻煩了，隻需要給孩子每人發一塊口香糖，看看是剩下了口香糖，還是有孩子沒有吃到糖。”

這裡的數學思想就是讓兩個集合中的元素，通過某種方式建立一個對應關系，這可以幫助我們判斷兩個集合中元素個數的多少。如果兩個集合中的元素是一對一建立起來的一個對應關系，就是一一映射。當然，這在有限集合中看起來不是那麼的重要，但是在無限集中就顯得非常關鍵。

對于正整數集合和負整數集合，這兩個集合可以建立一個一一映射關系。也就是說，每一個正整數與它的相反數一一對應，于是我們知道正整數的個數跟負整數的個數應該是一樣的。作者卻用一隻有無數顆牙的小雞（為什麼會是小雞？小雞真的有牙嗎？），提出了這樣一個問題。讓正整數集合與正偶數集合建立一個一一映射關系，

按前面的想法，正整數的個數應該與正偶數的個數相等。這一點超出了我們正常的感受範圍，所以當時的數學家們看到這個觀點也并不認可。當時的大數學家龐加萊也認為，這個推導可能存在某些問題，總之它是不正确的。實際上這正是無窮自身的魅力所在，這也再一次說明了有限和無限有着巨大的差異。作者在書中評價道，“康托爾所做的就是推廣了大小的概念，把大小從有限的數字王國推廣到了無限”。

接下來，作者又圖文并茂地說明了整數的個數跟正整數的個數相等；有理數的個數也跟正整數的個數相等，自然也就跟偶數的個數相等。

值得一提的是，作者在前文的講述中順帶着講解了自然數用集合論定義的方法，而這種方法是我在大學畢業幾年後才知道的。感慨的是，該書的緣起是作者為了教小女兒學習數學而作，我的想象中作者的女兒應該不大。看來無論多“高深”的數學知識，隻要講述方法得當，就可以讓人易于接受。

通過前面内容，讀者往往會想，是不是所有的無限集合中的元素個數都跟整數的元素個數相同？因此，該書的後半部分基本都在讨論這個問題。

書中構造了一個“二進制串”，如圖1，把一行中的無限個格子每個都染成白色或者黑色。

圖1

因為格子的個數有無窮多個，因此染色方式也有無窮多種，這樣我們把用各種不同染色方式染色後的每行格子從上到下依次排列，如圖2。

圖2

這樣的話，我們就可以讓它的行數與相應行的染色方式構成一個一一映射，我們可以想象，每一個非負整數都與“不同染色方式的行”對應。正當我們認為格子不同的染色方式的數量與正整數個數相同的時候，卻發現了一個意外。

圖3

作者說，“想象你沿着這張表的對角線行走，并同時記錄下你看到的顔色”。也就是從上至下依次記錄下對角線上的每一個格子的顔色，如圖4所示：

圖4

調換上面格子的顔色，即原來是黑色的調換成白色，原來是白色的調換成黑色（如圖5）。那麼，這一行就如同幽靈般的存在，因為它不屬于圖中的任意一行，作者把新構造的這一行叫作Bob。

圖5

Bob不可能是第0行，因為它與第0行的第1個格子顔色不同；Bob也不可能是第1行，因為它與第1行的第2個格子顔色不同；Bob也不可能是第2行，因為它與第2行的第3個格子顔色不同；以此類推。結論是Bob不是這張表中的任何一行。

前面的格子包含了所有的不同染色方式，而Bob卻不在其中，這顯然是矛盾的。矛盾的産生就來自這兩個無窮的大小是不同的。數學上稱這兩個集合沒有相同的“基數”。這就是說，無窮的基數不止一個。

後面部分作者用了一定篇幅構造了實數與二進制串的一一映射關系，也就是說，實數集與二進制串有相同的基數，同時還說明了實數集合與正整數集合的大小是不同的。

全書初看起來覺得簡單，但裡面蘊含着豐富的數學思想，在一一映射的構造上技巧獨到，思維的火光迸射出耀眼的光芒。作者雖是領着孩子探求康托爾的思維軌迹，但是裡面也有很多作者自己非常獨到的見解。作為數學專業的畢業生，我讀起來也收獲頗豐。

數學家康托爾是為我們揭示無窮秘密的第一人，今年是他逝世100周年，譯者想借此向康托爾緻敬。本書用來闡述康托爾集合論思想的事例都來自現實生活，充滿童心和愛心，使生活的意境與豐富的想象完美結合。而且全書雖以卡通的形式呈現，卻富含哲理，說明數學與我們的生活和思維方式有着意想不到的奇妙聯系。這樣富有創意和靈動的作品實屬罕見，對于傳播數學文化有着非常大的價值。

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