常微分方程是微積分學方程中常見的，應用非常廣泛的方程，下面就來讨論常微分方程中最簡單的變量分離微分方程。
設一階微分方程式：
其中f(x,y)是給定的函數，我們要做的工作是求微分方程的解y=y(x),可是一般不能用初等方法來解出這個微分方程，但是當微分方程的右端f(x,y)取某幾種特殊的類型時，就可用初等積分法求解。
本篇講一個重要的特殊情形
此時開篇中的微分方程就變成了
這樣的方程稱之為變量分離的方程。
例如下圖都是變量分離的方程，
對于變量分離的方程，可用初等積分法求它的解，為了有淺入深的掌握變量分離方程的解法，我們特地分作兩步讨論 。
假設g(y) 是常數，可設g(y) =1
此時微分方程式就變成了
為了可以對它進行積分運算，我們假設函數h(x)在區間a<x<b上連續，這實際上就是求h(x)原函數問題，因此可以直接對其取不定積分，就得到它的通解
其中O是一個任意的常數，為了确定通解的任意常數O，需附加初始條件
這裡y0是任意給定的初始值，為了從通解中找出滿足初始條件的那個解，令x=x0,得到y(x0)=O,從而确定O=y0,從而得到
假設g(y)不是常數
此時微分方程右端與未知數y有關，因此不能像上述那樣直接取不定積分求解，我們需要克服這個困難，因此假定y=y(x)是開篇中微分方程的一個解，即它滿足
且設g(y)不等于0，那麼可用分離變量法把上述方程寫成
這樣一來，自變量x與未知數y互相分離，因此可以對方程取不定積分得
其中α和β分别是固定的積分下限，而O是任意常數，令
則這個方程就變成了
總結上面的讨論，我們得知微分方程的解y=y(x)滿足隐函數方程G(y)=B(x) O
上述就是的常微分方程中最簡單的可分離變量方程的探讨，非常簡單。
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