作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

在上一篇文章 《複平面變換下的複變函數》中，我們可視化指數函數、三角函數。本文将介紹莫比烏斯變換的奇妙性質，并且建立其與正切函數的聯系。

1矩陣表示

所謂莫比烏斯變換，也稱為分式變換，其形如：

奇妙的是，全體莫比烏斯變換構成群。也就是說莫比烏斯變換的複合仍然是莫比烏斯變換，并且有恒等映射作為單位元，逆變換同樣是莫比烏斯變換。而且更神奇的是，變換的複合與矩陣乘法一一對應：

這個讀者可以簡單的計算得到驗證。另外如果複數采用齊次坐标的寫法：，則莫比烏斯變換與矩陣變換無異：

于是我們将莫比烏斯變換對應的矩陣記為.

2不動點與特征向量

我們發現的不動點和的特征向量存在對應的關系。所謂不動點，即滿足方程的點；特征向量是指滿足，稱之為特征值。我們約定既可以是齊次坐标，又可以視為向量，這取決于是還是作用于，相信這不至于引起混亂。

是的特征向量，即，則是的不動點，即：

下文将會有重要的應用。

3什麼是反演？

分式變換就是複數四則運算的簡單複合。加減乘三種運算我們都讨論過了，唯有除法需要特别介紹。

我們隻需要關注倒數函數即可。利用歐拉公式觀察：

從幾何的角度講——

倒數函數是關于複平面上單位圓的複反演。

何謂“複反演”？請看下圖：是圓心位于原點的單位圓中的任意一點，接下來我們找點關于單位圓的反演點。我們稱單位圓是反演圓，圓心稱為反演中心。連接并延長，做過點關于射線的垂線交圓于點；做過點的切線交于點，則為的反演。再對點取共轭，則得到點的複反演.

在中，由射影定理：

所以複數和的模長滿足導數關系，注意式，輻角取相反數，所以最後還需要取共轭，于是得到複反演點.

從幾何角度看，（複）反演關系是相互的，當點位于單位圓外，則通過逆向操作得到其反演點位于圓内。當點位于單位圓上，則複反演點恰好是共轭點。

4反演的幾何性質

事實上，複反演隻不過是反演和翻折變換的複合。反演滿足以下幾何性質：

（保圓性）反演将圓映射為圓。

• 更确切地講，反演将反演圓内的小圓映射為圓外的大圓，或者反過來。

• 若圓與反演圓相交，則其反演的像也與反演圓相交于相同的點。

• 特别地，若圓通過反演中心，則其像為直線。我們把直線視為半徑無窮大的圓。

證明并不困難，但在此省略。

如圖，紅色且粗線條的圓是反演圓，其餘相同顔色的圓互為反演關系。複反演則取實軸的鏡像即可。

保圓性

莫比烏斯變換可以分解為旋轉、平移、反演的複合：

而這三種變換都具有保圓性，所以莫比烏斯變換也具有保圓性。

不動點

莫比烏斯變換的不動點對于其化簡、分類有着重要的意義。從矩陣理論的角度看，不動點事實上是莫比烏斯變換的特征向量，方便變換矩陣對角化。

經過簡單的計算，得到二次方程

首先排除系數皆為的情況，這與的條件相違。其次分母為常數的情況也都是平凡的情況。我們直接考慮的情況，此時由二次方程有兩個解，我們分别記為（可能重根）。

• 當時，定義變換，以及. 可以立即驗證的不動點是和.

• 當時，定義變換，以及. 可以立即驗證的唯一不動點是.

經過修剪的莫比烏斯變換更加簡明，以上兩種情況分别具有如下形式：

顯然前者是由乘子所決定的旋轉和伸縮的複合，而後者是由決定的平移。

我們将複平面上的變換通過球極投影展現在黎曼球面上，北極點對應的是複平面的無窮遠點。此圖反應了旋轉 伸縮的情況。

終于我們的主角登場了。

由歐拉公式，我們可以得到正弦和餘弦的表達式：

兩者之比正是正切函數：

我們可以将正切函數視為一系列的複合：

前面的指數映射我們已經介紹過了，注意到倒數第二步是一個莫比烏斯變換

這個變換的不動點容易計算為，這符合第7節有互異不動點的情形，于是構造映射，最終我們得到乘子

也就是說是一個黎曼球面上的逆時針旋轉90度的變換。

從回到：是繞着和這兩個不動點的旋轉，則是繞着這兩個不動點的旋轉，如下動圖充分反映出這一點。

參考文獻

[1] Thristan Needham. 複分析:可視化方法[M]. 人民郵電出版社, 2009.

[2] 沙巴特. 複分析導論: 第4版. 第1卷, 單複變函數[M]. 高等教育出版社, 2010.

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