#頭條創作挑戰賽#

2022年新高考數學全國卷II有這麼一道有趣的立體幾何多選題，是關于體積問題的。這道題有趣之處在于，你可以幾乎不用數學知識，單憑日常生活的一些非常普通的哲學道理，就把它解決了。這是怎麼回事呢？跟老黃一起來看看題目吧。

如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED,

AB=ED=2FB, 記三棱錐E-ABC, F-ABC, E-ACF的體積分别為

V1,V2,V3. 則

A. V3=2V2; B. V3=2V1; C. V3=V1 V2; D. 2V3=3V1

分析：原圖其實還少畫了BE這條棱，是老黃後期補上去的。老黃這個糟老頭子壞得很，先給大家分享數學的解法 ，再分享哲理的解法。數學上有兩種方法：

方法一：設AB=ED=2FB=2a, 則V1=AB·BC·ED/6=4a^3/3, V2=AB·BC·EB/6=2a^3/3, 關鍵的問題是要怎麼表示V3.

瞧老黃是怎麼做的。看圖，你明白它是什麼意思嗎？它指的是原幾何體其實是正方體的一部分。

而且這部分是正方體的二分之一。為什麼呢？

這是正方體的對稱性決定的。隻要把上底面過E的對角線畫出來，利用這條對角線所在的豎直平面，把正方體分成兩個部分。就可以看到，原立體圖形的一半，在兩個部分中，都各占整體的一半。老實說，這是真夠燒腦的。相對而言，後面的三棱錐E-ACD的體積等于V1就好理解得多了，因為它們底面積相等，高相同。

因此V3等于整體體積減去V2，再減去E-ACD的體積，也就是V1，從而求得V3等于2a^3。有了三個體積，檢驗就可以知道C，D是正确的。

這種解法還讓老黃知道了存在正方體一條棱的中點，與三個側面的各一條對角線，平分正方體。注意，存在是一定存在的，但不能說棱的中點與三條對角線一定會平分正方體。

另外一種數學方法，還是先設這幾條線段的長，這回直接設為2，即AB=ED=2FB=2。這樣做，不熟練的小夥伴容易出錯。并求得V1=4/3, V2=2/3.

然後連結BD交AC于點M，連結EM、FM，則分别可以求得FM，EM，EF和AC的長，通通是利用勾股定理求得的。其中FM=√3，EM=√6，EF=3，AC=2√2.

再求三角形EMF的面積，得到S△EMF=FM·EM/2=3√2 /2，它是三棱錐A-EMF和C-EMF的公共底面，而AC是垂直于這個面的. 所以V3在這裡被看作這兩個三棱錐的體積和，就等于三分之一兩者高的和，也就是AC，乘以公共底面積，結果等于2。即V3=AC·S△EMF/3=2. 檢驗就可以得到答案是C和D了。

終于到了要介紹用普通哲理解決這個問題的時候了。

首先還是需要一點數學知識的，由三棱錐E-ABC和三棱錐F-ABC同底，高ED=2FB，∴V1=2V2. 然後就進入老黃的表演時間了。

如果A正确，那麼V3=V1, BCD全錯. 因此，BCD會一緻投票，排除掉A，因為這是多選項嘛. 不可能隻先A一個答案。

B對則D錯，B錯則D對，即B、D中隻有一個是正确的，正所謂“鹬蚌相争，漁翁得利”，B、D選項就是鹬和蚌的關系，而C選項就是成了那個“漁翁”，因此C正确，你甚至不需要看C選項寫了些什麼。

當然，最後還要靠C選項推出V3=V1 V1/2=3V1/2, 從而知道D選項是正确的。因此選CD.

怎麼樣？有趣吧！這三種方法，你最喜歡哪一種呢？

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