• 複合函數、反函數
• 指數函數
• 對數函數
• 對數的性質

對數、指數函數

指數、對數函數在描述日常生活中的增長問題有很大的幫助。本章學習它們的函數圖像以及相關性質。

複合函數、反函數

複合函數是一種嵌套函數形式，即一個函數的輸出是另一個函數的輸入，如：(f⊙g)(x)=f(g(x))。

定義域的x與值域y之間是一對一關系的函數，即一個y隻有一個x值與之對應，稱為一對一映射關系函數。判斷方式：坐标系中任意畫一條平行于x軸的直線，最多與函數圖像相交于一點。

一對一關系函數

非一對一關系函數

我們知道函數關系定義中每個x值有且僅有一個y值與其對應。一對一函數有如下映射關系

對應x與y相互隻有一個值，即反函數形式也符合函數的關系定義

如果y=f(x)存在反函數且(x，y)是函數f(x)上的點，那麼(y，x)是其反函數上的點。這兩個點是關于y=x對稱的，如(1,3)與(3,1)

函數與其反函數關于y=x對稱

函數的定義域是其反函數的值域，而函數的值域是反函數的定義域。

已知一個函數如何得到它的反函數呢？

最後需要驗證一下是否互反

指數函數

指數函數的形式：a > 0 且 a ≠ 1

• a > 0：若a=-4時

x=1/2, f(1/2)不在實數域

• a ≠ 1：因為1的x次方都等于1，f(x)是一個常數函數

指數函數的圖像：

底數分别為2、3的函數圖像

指數函數性質：

左圖a>1，右圖0<a<1

前面是a為有理數的情況下讨論指數函數。在科學及經濟等領域有一個很常用的無理數--e為基的指數函數。e的由來

n為非0自然數

當n逐漸增大直至無窮大時，f(n)無限趨近于一個無理數

數學上将n→∞時，f(n)所趨近的無理數用e表示。e≈2.718281827，稱它為自然常數。

自然指數函數

2<e<3，它對應的圖像在2、3為基的指數函數之間

對數函數

根據指數函數的圖像及其性質可知，它們是一對一的函數，所以指數函數一定存在反函數。那麼它的反函數是什麼呢？數學上用log(Logarithmic)來表示指數函數的反函數--對數函數。

a>0且a≠1, x>0

對數函數的性質

指數函數與對數函數的圖像關系

自然對數函數可以用f(x)=lnx表示，底數(基)為e。以10為底數(基)的對數函數用f(x)=logx表示。

對數的性質

a為實數，a的0次方等于1，a的1次方等于a。對應的對數

a>0且a≠1，x>0時

另外，乘除、幂的性質，換底公式

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