提起平行線，大家都不陌生——兩段平行延伸的鐵軌、黑白相間的斑馬線，這都是生活中可以觀察到的平行線，在文學作品中我們也會看到這樣的描述：“兩個人就像平行線一樣，永遠沒有交集”。

在我們的印象中，平行線具有永不相交的性質。但有人卻說：“平行線在無窮遠點交于一點”。

那平行線之間到底有沒有交點？它們到底會不會在無窮遠點相遇呢？

圖1 平行鐵軌 圖片來源：百度百科

要弄明白這個問題，我們需要先了解平行線永不相交這個說法是怎麼來的。

平行線誕生于平面幾何第五公理

古希臘數學家，幾何學之父歐幾裡得在研究幾何學的時候，發現了有些幾何學知識屬于經由人類長期反複的實踐表明正确，不需要由别的知識推出。于是歐幾裡得在《幾何原本》中給出了五大公理[1]，并以此為基礎構建了幾何學體系。這五大公理為：

公理1：任意一點到另外任意一點可以畫直線

公理2：一條有限線段可以繼續延長

公理3：以任意點為心及任意的距離可以畫圓

公理4：凡直角都彼此相等

公理5：同平面内一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個内角和小于二直角的和，則這兩條直線經無限延長後在這一側相交。

在五大公理中，前四個看着都比較簡潔明了，第五公理則相對啰嗦。

後來的研究推導表明，第五公理與以下兩個說法等價——一是，三角形的内角和為180度；二是，過直線外一點，有且僅有一條直線不與該直線相交。

而第二個說法中兩條永遠不相交的直線則被稱作平行線。這便是平行線永不相交這一說法産生的原因。也正因為第五公理與平行相關，該公理又被稱為平行公理。

非歐幾何VS平行公理

從平面幾何第五公理提出以來，數學家們就開始思考一個問題：這一公理能否被别的公理替代？

19世紀，高斯、巴切夫斯基、波爾約等人各自獨立嘗試了使用不同的平行公理。最終根據過直線外一點能做幾條直線與已知直線平行，形成了羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何兩大新的幾何體系。

因為這兩大體系與歐幾裡得幾何學不同，所以又被統稱為“非歐幾何”。

羅巴切夫斯基幾何，簡稱為羅氏幾何，認為過直線外一點至少能做出兩條直線與已知直線平行。

圖2 羅氏幾何 圖片來源：百度圖片

圖2所示的雙曲面形象地展示了這一情況。在一個雙曲面上，因為空間的彎曲，過直線外一點可以畫出好幾條與已知直線平行的直線。

因為這一幾何描繪的是雙曲面空間中的情況，所以也被稱為“雙曲幾何”。

在這樣的雙曲空間中，過直線外的一點，可以做出多條直線與已知直線平行。此外，在雙曲空間中任意做出一個三角形，三角形内角和小于平面幾何中的内角和（180°）。

黎曼幾何，則假定過直線外一點不存在與已知直線平行的直線。羅氏幾何考慮的是雙曲面中的幾何學，黎曼幾何考慮的則是橢圓空間中的幾何學。

因此，黎曼幾何也被稱為“橢圓幾何”。

圖3 黎曼幾何 圖片來源：百度圖片

圖3形象地展示了黎曼幾何的特點。在一個橢圓空間中，三角形内角和小于180度。并且因為橢圓空間中所有直線都經過橢圓空間最頂端的無窮遠點，過直線外一點做不出已知直線的平行線。

這也是我們常說的“平行線交于無窮遠點”這一說法的來源。

實際上，按照幾何學的定義，當我們使用黎曼幾何研究問題的時候，所有直線交于無窮遠點，也就不存在平行線的概念了，因為在數學的定義上，稱為平行線，就必須是同一平面内永遠不相交的直線。

從這個角度講，“平行線交于無窮遠點”是一個數學上的僞命題，但卻具有一定的藝術價值。

非歐幾何有何應用價值？

平面幾何在我們的實際生活中有着非常大的應用價值。小到機械制造，大到地理信息測量，都離不開平面幾何的計算。這也是為什麼我們從小到大學習的都是平面幾何。

那非歐幾何就是數學家們拍腦袋拍出來的嗎？非歐幾何有沒有應用價值呢？

答案是肯定的。

非歐幾何在特定的空間、特定的問題中具有很高的應用價值。

從上文中我們可以看到，非歐幾何主要用來研究雙曲空間、橢圓空間這兩種非平面空間中的幾何學問題。而非平面空間在我們的實際生活中也是廣泛存在的。

非平面空間的出現，最常見的有兩種情況：

第一種情況是大質量天體導緻的空間扭曲。

根據廣義相對論的相關理論，在大質量天體附近，空間會發生較為明顯的彎曲。在日常生活中我們會發現，如果将一個重球放在支起來的布上，重球就會将布料壓彎。

而在宇宙中，大質量天體就是産生壓迫的重球，空間結構就是支起來的布料，最後就會像圖4一樣，在大質量天體的周圍，産生一定的空間彎曲。

圖4 大質量天體産生明顯空間彎曲 圖片來源：百家号

在這樣的彎曲空間中進行宇宙航行時，平面幾何的相關知識就不再适用，反而是非歐幾何有了用武之地。單個天體産生的空間彎曲接近橢圓面，而多個天體則可能在交界區域産生接近于雙曲面的彎曲空間。

如果人類有一天邁向宇宙的星辰大海，根據非歐幾何計算清楚彎曲空間中的幾何關系，是實現宇宙航行必不可少的技術。

第二種非平面空間是生存平面本身存在易忽視的曲率。

我們生活的地球，其實本身就是一個橢球面。當我們在太空中觀察地球時，很容易發現地球表面存在彎曲。這時候對于地球中幾何關系，就可以通過空間立體平面幾何進行分析。

但是如果我們隻在大地上進行觀測，無法獲得太空中的視角，那地球表面這個二維空間中的幾何關系，其實就符合橢圓幾何的相關性質。

基于地球表面的這種特點，黎曼幾何可以被用于地球表面的度量之中。通過基于黎曼幾何的方法，對于地球表面的測地線進行研究，“測地幾何”這一門學科就建立起來了。

因此，在地球表面研究地理信息、航空航海等問題時，非歐幾何中的黎曼幾何就有着很高的應用價值。

最後，回到我們最開始的問題，平行線本身的數學定義就是沒有交點的，平行線也不會在無窮遠點相遇。隻是在黎曼幾何中，兩條看上去“平行”的直線會在無窮遠點相遇，但它們實質上不屬于平行線。

雖然平行線注定不會相遇，但是對平行線和平面幾何第五公理的研究，卻産生了羅氏幾何、黎曼幾何等非歐幾裡得幾何學，并在各方各面有着廣泛的應用。數學研究很多時候都是這樣，看上去奇思妙想的“無用之舉”，最後反而在實際生活中找到了妙用。

參考文獻：

[1]歐幾裡得著, 蘭紀正, 朱恩寬. 歐幾裡得幾何原本[M]. 陝西科學技術出版社, 2003

出品：科普中國

作者：飯堂科普
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編輯：Paarthurnax

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