求“二面角”與“點到平面的距離”問題是很多學生感到頭痛的。事實上，這兩類問題有着較強的相關性，下面給出這兩類問題的一個“統一”求解公式。

定理：如下圖，若銳二面角的大小為，點A為平面

内一點，若點A到二面角棱CD的距離為

，點A到平面的距離AH=d，則有。

說明：中含有3個參數，已知其中任意2個可求第3個值。其中是指二面角的大小，d表示點A到平面的距離，m表示點A到二面角棱CD的距離。值得指出的是：可用來求解點到平面的距離，也可用于求解相關的二面角大小問題。其優點在于應用它并不強求作出經過點A的二面角的平面角∠ABH，而隻需已知點A到二面角棱的距離，與二面角大小，即可求解點A到平面的距離，或已知兩種“距離”即可求二面角的大小。這樣便省去了許多作圖過程與幾何邏輯論證，簡縮了解題過程。還要注意，當已知點A到平面的距離d與點A到二面角棱CD的距離m求解二面角的大小時，若所求二面角為銳二面角，則有

；若所求二面角為鈍二面角，則

。

下面舉例說明該公式在解題中的應用。

例1. 如下圖，已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD，側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。

（1）求點P到平面ABCD的距離；

（2）求面APB與面CPB所成二面角的大小。

分析：如上圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為O，即PO為點P到平面ABCD距離。第（1）問要求解距離PO，隻需求出點P到二面角P-AD-O的棱AD的距離，及二面角P-AD-O的大小即可。第（2）問要求解二面角A-PB-C的大小，隻需求出點C到二面角A-PB-C棱PB的距離及點C到半平面APB的距離即可。

解：（1）如上圖，取AD的中點E，連結PE。由題意，PE⊥AD，即

。又二面角P-AD-O與二面角P-AD-B互補，所以二面角P-AD-O的大小為60°，即

。于是由公式知：點P到平面ABCD的距離為

。

（2）設所求二面角A-PB-C的大小為，點C到平面PAB的距離為d。

連接BE，則BE⊥AD（三垂線定理），AD⊥平面PEB，因為AD∥BC，所以BC⊥平面PEB，BC⊥PB，即點C到二面角棱PB的距離為2，即m=2。

又因為PE=BE=，∠PEB=120°，所以在ΔPEB中，由餘弦定理可求得PB=3。

取PB的中點F，連結AF，因為PA=AB=2，則AF⊥PB，

，所以

，即

。又易求得

，點P到平面ABC的距離：

。根據等體積法

，有

，即

，所以

，代入公式

。又由于面PBC⊥面PEB，所以所求二面角A-PB-C為鈍二面角，所以

小結：對于這個高考試題，許多考生反映第（2）問求解困難，失分較為嚴重。究其原因有二：一是不能正确地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角時存在計算障礙。

利用公式求解，省去了許多繁難的作圖過程與邏輯論證，其優勢顯而易見。

例2. 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分别是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。

分析：欲求點B到平面GEF的距離，直接求解較困難。為此我們令平面GEF作為某二面角的一個半平面，當然二面角的另一個半平面即為平面BEF，為此我們隻需找到該二面角的平面角及點B到二面角棱EF的距離即可。

解：如下圖，過B作BP⊥EF，交EF的延長線于P，連結AC交EF于H，連結GH，易證∠GHC就是二面角G-EF-C的平面角。

又

，這就是點B到二面角C-EF-G棱EF的距離

因為GC=2，

，所以

，GH=

，在RtΔGCH中，

，于是由得所求點B到平面GEF的距離：

。

例3. 已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C。求頂點C與側面A₁ABB₁的距離。分析：如下圖所示，解答好本題的關鍵是找到底面ABC的垂線A₁D，找到了底面的垂線A₁D，就可根據三垂線定理，作出側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的平面角A₁DE，求出二面角A₁-AB-C的平面角大小，就可依據公式找到點D到平面A₁ABB₁的距離d，進而根據D為AC中點，也就不難求出點C到側面A₁ABB₁的距離。

解：如上圖，在側面A₁ACC₁内，作A₁D⊥AC，垂足為D，因為AA₁=A₁C，所以D為AC的中點。又因為AA₁⊥A₁C，

，A₁D=AD=。因為側面A₁ACC₁⊥底面ABC，其交線為AC，所以A₁D⊥面ABC。過D作DE⊥AB，垂足為E，連接A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB（三垂線定理），所以∠A₁ED為側面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角。由已知，AB⊥BC，得ED∥BC，又D是AC的中點，BC=2，所以DE=1，

，故∠A₁ED=60°。于是由公式知，點D到側面A₁ABB₁的距離

。又點D為AC的中點，故而點C到側面A₁ABB₁的距離為點D到側面A₁ABB₁距離的2倍，于是知點C到側面A₁ABB₁的距離為。小結：本例先通過求側面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的大小，進而利用公式求出點D到側面A₁ABB₁的距離，再利用中點D的性質巧妙地求得C到側面A₁ABB₁的距離，充分體現了轉化與化歸的思想方法在解題中的靈活運用。

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