例：求函數f(x)=Ⅹ²一2X 3在區間[t一2，t]上的最值。

[思路探尋]抛物線開口向上，無論區間怎麼移動，最大值隻可能在端點處取得，作差f(t一2)一f(t)後讨論；最小值随着區間移動，單調性變化求出。

先求最大值M。

f(t一2)一f(t)=一4(t一2)，

當t≥2時，f(t一2)≤f(t)，

M=f(t)=t²一2t 3，

當t<2時，f(t一2)>f(t)，

M=f(t一2)=t²一6t 11，

綜上所述：M={

t²一2t 3，t≥2

t²一6t 11，t<2。

再求最小值。

抛物線開口向上，對稱軸X=1，

①當t≤1時，f(X)在區間[t一2，t]上單調遞減，m=f(t)=t²一2t 3，

②當t一2≥1即t≥3時，f(X)在區間[t一2，t]上單調遞增，

m=f(t一2)=t²一6t 11，

③當t一2<1<t即1<t<3時，f(X)在區間[t一2，t]上先減後增，

m=f(1)=2，綜上所述，m={

t²一2t 3，t≤1，

2，1<t<3，

t²一6t 11，t≥3

[遷移1]已知函數f(X)=一X²一4X 3，X∈[t，t 1]，求函數的最值。

[思路探尋]抛物線開口向下，最小值隻可能在區間端點處取得，作差f(t)一f(t 1)，然後分兩類讨論。最大值根據對稱軸在區間的左、中、右分三類根據單調性讨論。

[遷移2]已知f(X)=X² 2X 2，

①若X∈R，求f(X)的最小值；

②若X∈[1，3]，求f(Ⅹ)的最小值；

③若X∈[a，a 2]，a∈R，求f(X)的最小值。

[思路探尋]X的取值範圍層層遞進，①X∈R，初中解法；②X∈[1，3]定軸定區間，直接依單調性求；

③軸定區間變，根據對稱軸在區間的左、中、右分三類讨論。

[遷移3]已知函數f(X)=X²一aX a/2在[O，1]的最大值為g(a)，求g(a)的最小值。

[思路探尋]先求最大值，因抛物線開口向上，最大值在f(0)或f(1)取得，作差分兩類求g(a)；根據分段函數g(a)的單調性，求出最小值。

[解析]f(0)一f(1)=a一1，當a≥1時，f(0)≥f(1)，g(a)=f(0)=a/2；

當a<1時，f(0)<f(1)，g(a)=1一a/2

∴g(a)={

a/2，a≥1

1一a/2，a<1。

因為g(X)在(一∞，1)上單調遞減，在[1， ∞)上單調遞增，所以最小值為f(1)=1/2。

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