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有理數和無理數的判斷

生活 更新时间:2025-04-02 18:38:36

數學教育一直以來都是走在最前沿的,都說沒有數學的國家就不是國家,确實不管是從什麼方面來說數學都是至關重要的。就單說大學數學教育這一塊,數學就滲透了各個學科,當然數學裡的知識理論更是我們學不盡的,也有很多是留給我們思考的,就好比說,有理數和無理數,我們又該怎樣證明無理數的個數比有理數多?

有理數和無理數的判斷(如何證明無理數的個數比有理數多)1

數學就是這麼神奇,你隻要好好地研究,你就會産生更多的想法。而這裡問題的根本在于,怎樣給無窮集合立一個比較多少的标準。集合包含關系算是一個标準,但适用性太差,按照這個标準你不能說一車蘋果比一個梨多,因為兩者互不包含。

有理數和無理數的判斷(如何證明無理數的個數比有理數多)2

基數就是一個好的标準,以能否建立雙射為準線,由施羅德伯恩斯坦定理保證不會矛盾(不會出現A>B且B>A),由選擇公理保證了必然可以比較(不會出現A>B,A=B,A<B之外的情況)。在基數的标準下,無理數的基數更大。具體的證明可參照各類實變函數論書籍。

有理數和無理數的判斷(如何證明無理數的個數比有理數多)3

不過還是得這樣提一下重點,無理數是一個連續統,有理數是一個可數集,而連續統的基數大于可數集的基數;實數是有理數和無理數組成的,無理數是不可數的。所以我們可以認為:無理數于實數等勢,且其勢高于有理數。

有理數和無理數的判斷(如何證明無理數的個數比有理數多)4

總而言之,數學就是這樣,哪怕是一個簡單的東西,一經過數學就能演變出很多,而商學院就因為有這樣的魅力,才使得它在教育行業占據足夠的分量。

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