近年來，有一個詞彙在教師交流、文章裡高頻出現，那就是“核心素養”，本文分享的内容同樣聚焦這個話題。關于核心素養，大家是如何理解的？有哪些支撐它的東西，并和我們的教學相聯系？這些需要我們每一位教師去思考。

一、回顧數學學科核心素養的發展及内涵

目前，很多教師都在核心素養的大背景下進行教學設計，審視教學内容，組織教學活動，并加以實施。到底核心素養什麼時候提出，我們對它有怎樣的理解？

大家有看過課程标準裡關于核心素養的解讀嗎？這些都是幫助教師在核心素養背景下進行教學的重要基礎。

到底什麼是核心素養？

按照教育部的文件，學生發展核心素養，主要指學生應具備的、能夠适應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。

可以看出，核心素養有兩大部分組成——關鍵能力和必備品格。關鍵能力大家并不陌生，包括認知能力、合作能力、創新能力、職業能力。必備品格又怎麼理解？近段時間，一些文獻對必備品格進行了闡述，包含創新、嚴謹、堅強意志、勤奮、堅持不懈、理性、化繁為簡、獨立思考、實事求是、勇于質疑、數學興趣……

從數學學科角度講，數學的品格是一個人的品性。在數學學習過程當中，除了具備一些能力，教師還應該培養具有學科特點的品性。

當然，數學學科突出理性精神，講究實事求是、勇于質疑，要有克服困難、戰勝困難的堅強意志，同時具有創新性和嚴謹性。

基于對必備品格的認識，對于一般的核心素養來說，學科核心素養也應該是學科相應能力和必備品格的融合。

那麼課程裡對關鍵能力有哪些要求呢？這些關鍵能力又是什麼？首先回顧數學課程中關鍵能力的要求：

從1951年開始，教學大綱逐漸有了觀察問題、分析問題的能力，其表達了對數學學習能力層面的要求。到了1952年時，大綱的解釋和說明裡出現了空間想象力、邏輯的思維力和判斷力，借鑒了前蘇聯課程裡的一些内容和要求。接下來在1956年裡，大綱提到了邏輯思維、空間、想象力，所以表達上略有一些變化。

最值得關注是1963年，大綱明确提出了我們稱之為數學的三大能力——迅速的計算能力、邏輯推理能力、空間想象力。這些要求具有裡程碑似的意義。那時，初高中沒有分開，而是以一個完整的學段對其提出要求。

從1978改革開放以後，大綱對能力有了更加明确的提出及要求，例如之前的計算和現在的運算，兩者也有所差别。計算更多指對數的計算，而運算則擴大了對象範圍，包括數、式、向量等。

2000年的教學大綱是一個過渡性的大綱，裡邊包含了思維能力、運算能力、空間想象能力，解決實際問題的能力，還有創新意識。不過，逐漸出現了意識層面的内容。

原來的三大能力仍然在，然後新增了解決實際問題的能力，形成了“四種能力”。所以我們在原來的基礎上，不斷地根據課程的發展來變化和增加關鍵詞。目标層面對學生提出既包含了關鍵能力，又漸漸走向必備品格這一層面的要求。在此基礎上，逐漸發展成今天提倡的核心素養。

在2001年頒布的義務教育《數學課程标準（實驗稿）》中，提到了6個核心詞——數感、符号感、推理能力、空間觀念、統計意識、應用意識。其中隻有“推理”用了“能力”一詞，為什麼？原因和年齡段有關，例如“統計意識”對于初中階段而言，如果用“統計能力”表述，這對學生的要求比較高。所以兩者表述有所不同。

那麼在6個核心詞裡邊，還隐含了一點問題，運算沒有了。這是因為課程标準編制專家加強了合情推理能力這一目标的要求，從此開啟了在數學課程、教學裡需要經曆歸納、概括、類比的過程。所以這裡的“推理能力”既指合情推理，也包含了演繹推理，其内涵比之前變得更為豐富，進而也取代了運算。

正是由于這一原因，引發了大家的質疑，運算能力不重要嗎？經過不斷地思考和研究，2011年版本出現了10個核心概念——數感、符号意識、幾何直觀、空間觀念、推理能力、運算能力、模型思想、數據分析觀念、創新意識、應用意識。其中恢複了運算能力。

由此看出，從1951年到現在，教學目标在逐步地增加，課程對學生能力的提升也在變化，從側面更體現了學生的個性品質。雖然能力是最重要的，但如果僅能解決問題，沒有相應的意識和觀念，也不行。

所以，數學在培養學生相應能力的同時，還應發展必備的品質。這就是我們現在談論核心素養的意義所在。

為什麼今天會出現核心素養這種提法？我覺得是時代發展對公民素養的要求在不斷變化，相應的也需要培養符合時代發展的人才。

就數學學科而言，“要求我們要用數學的眼光來看待這個現實世界，用數學的思維來思考現實的世界，還有用數學的語言來表達這個世界”。這裡實際已經高度概括了高中數學課程、義務教育數學課程中明确提出的要求。

比對數學學科核心素養和《義務教育課程标準》，首先對核心素養的要求非常一緻，其次就是上訴這三句話——“會用數學眼光，會用數學思維，會用數學語言”的概括。眼光就是看待，思維就是思考，語言就是去描述。這三句話分别和抽象、想象、邏輯推理、運算、建模和數據分析一一對應。

抽象、想象是用眼光看待現實世界，邏輯推理和運算用數學思維思考，建模和數據分析則用數學語言刻畫及描述。當我們把這些内涵理解了，再結合核心素養，就能生成對課程标準的深刻理解。

縱觀課标的變化，從最開始的關鍵能力，到核心詞，再到核心概念，到現在的核心素養，未來義務教育階段的核心素養還會繼續更新，這也是值得期待的。

當然，這種變化一定是在繼承的基礎上，增加對課程的思考，對學段的思考，以及對已有核心概念描述的思考。且越來越貼近對學生發展的需求，貼近教師對數學課程自身價值、功能的認識和理解。

二、初高中六大核心素養解讀

“數學抽象”與“符号意識”

下面圖片裡，左邊是《高中課程标準》裡一段關于數學抽象的描述，“數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的素養。”怎樣理解？例如認識三角形，不管用紅色筆畫的，還是用鋼絲圍成的，或是木條組合的，都可以抛棄的物理屬性，從而抽象出三角形是用首尾相接的三條線段，這是數學抽象的一種表現。

也包括從數量與數量關系，圖形與圖形關系當中抽象出數學概念，以及概念之間的關系。總的來說，就是從事物的具體背景當中，抽象出一般的規律和結構。

當然大家還可能産生這樣的疑問：那推理也在裡面，歸納不就是推理嗎？其實包括其他的核心素養，都是“你中有我，我中有你。”隻是我們在不同的環節、在不同的過程、不同的階段裡，可能更凸顯某一素養。例如哥尼斯堡七橋問題，既有抽象的過程，把陸地變成一個點，把橋變成了線段，又有建模的過程。

數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。

對比符号意識（義務教育），主要是指能夠理解并且運用符号表示數、數量關系和變化規律；知道使用符号可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符号意識有助于學生理解符号的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。

比如三角形的内角和、勾股定理、三角形全等條件的探索，實際上都是提出命題和模型的一種形式，裡面蘊含了數學抽象。三角形内角和是讓學生從小學開始通過看具體的三角形過渡到一般的三角形。幾乎所有數學命題的得來，都需要學生經曆一個抽象的過程。因此，數學抽象是學生非常重要的素養，其抽象的過程可能比結果更重要。

“邏輯推理”與“推理能力”

我将邏輯推理與推理能力進行了對比，特别強調一點，邏輯推理不等于演繹。邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養。包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。

對應義務教育階段，當中提到“推理一般包括合情推理和演繹推理”，雖用詞不同，但主要含義基本一緻。其實，合情推理借用了美國數學家波利亞所著的《數學與猜想》裡的提法，書中對合情推理的解釋比歸納、類比還要再寬泛一些。

在邏輯推理主要表現中，提到了發現問題和提出命題，而推理能力（義務教育）用的是探索思路，發現結論。現在的這種表述，其實在本質上也是一緻的。其實邏輯推理指兩大類，一類是演繹的，一類是非演繹的。

當然，他們都是發現問題和提出問題的重要手段，一般來說，演繹推理是确認結論，而發現問題和提出問題則指合情推理和歸納、類比。

“數學建模”與“模型思想”

模型思想（義務教育）會與高中的數學建模在外延上有些不一緻。數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。是非常綜合的一種素養。

數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，确定參數、計算求解，驗證結果、改進模型，最終解決實際問題。裡面綜合性地包含了抽象、推理、想象和直觀等。且其主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題。明确“四能”的内容。

義務教育階段，模型思想的範圍就很窄了。其中提到用數學符号建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律。主要指數與代數裡面三個比較重要的模型——用數學符号建立方程、不等式和函數。

不過，在徐立志先生所著的《數學方法論》裡提到數學模型有兩大類，一類叫狹義的數學建模，一類叫廣義的數學建模。

狹義的數學模型就是針對一個問題，進行建模。廣義的數學建模指數學的概念、公式、方程以及函數，都是對一類事物的本質或内在數量關系的一種抽象。如自然數的概念——現實世界中具體事物的模型。還有很多問題都可以用一元二次方程、二元一次方程表達，因此從這個意義上講，都屬于廣義的數學模型範疇。

可是在幾何中，教師又該怎麼理解模型呢？如果從廣義的角度出發，“點”“直線”“射線”“角”都是數學概念，雖然學生對無限對象的理解有些難，但它們把現實世界中的事物抽象出來，所以屬于幾何裡面的模型。

現在義務教育階段關于模型思想的描述，更多局限在數量關系層面上，教師可以有更寬泛一點的理解。

“直觀想象”與“幾何直觀與空間觀念”

“直觀想象”和“幾何直觀與空間觀念”的理解，對初中教師來講，既要瞻前，看小學的内容，又要顧後，了解高中的内容。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象，感知事物的形态與變化，利用空間形式，特别是圖形理解和解決數學問題的素養。其實，幾何直觀和空間想象是兩件不一樣的事，但出于一些其他因素的考慮，高中将其合二為一，直接叫“直觀想象”。

義務教育階段是兩個詞，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。例如學習代數裡的公式，教師會讓學生通過畫圖來幫助理解，其實就是用圖表征公式。一方面對公式有了直觀的理解；另一方面是發展學生意識和能力的途徑。

高中直觀想象主要表現為建立數與形的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物。數形結合和幾何直觀存在怎樣的關系，數形結合可以從數到形，也有從形到數。

從數到形，是幾何直觀的一種，即把數的東西表達成形的内容。從形到數，不屬于幾何直觀，則是用數的東西表達形。例如用圖形說話，指從數到形。當然幾何直觀不僅僅把數的内容表達成形，還可以把其他事物的内在要素以及要素之間的關系進行表達。

比如幾個人握手問題，通過分析問題當中的對象，以及對象之間的關系，表達成了一個圖形。這也是很多研究者寫論文都願意用一張圖來表示的原因，讓讀者可以更加清晰明白。

空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。

這些描述是空間觀念外顯的形式，課程裡指在圖形的變換過程中，去體現學生空間想象的能力和意識。比如二維變三維、位置上的變化、折疊等知識……既發展學生空間觀念，也考察了學生空間觀念的能力。

“數學運算”與“運算能力”

對義務教育階段運算能力的理解，現在更豐富了，它是在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。

高中的數學運算素養對義務教育階段要求過高。義務教育的運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正确地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。

有一點請注意，運算能力不僅指怎麼算，如何算對，它已經不能夠滿足現在教學中對運算能力的内涵要求。課程改革剛開始的時候，就應意識到運算能力的改變，畢竟算得快可以用計算機代替，所以學生面對問題時，怎麼計算才是最重要的能力。

信息科學技術的發展，使我們發現，在數學學習裡，原來的目标和現在已發生了很大的變化。國家日新月異，科學技術領域也在不斷地探索，奮鬥者号可以潛到10000多米深的海底，嫦娥5号在月球上探索。科技領先的背後，是人才的培養，他們是不是光算得快、算得對？是不是把知識學完就扔掉？肯定不行。所以，教育者任重道遠，數學的教育太重要了。

“數據分析”與“數據分析觀念”

數據分析，是課程裡比較新的内容，怎樣理解呢？在大數據時代，學生統計意識也很重要，所以要讓公民具有統計的基本素養。懂得收集數據、整理數據、提取數據……要為學生終身發展、未來的生活奠定基礎。這裡，初高中對數學分析都是一緻的要求。

總的來說，這些核心素養已經跟學科課程有着緊密的聯系。例如數與代數領域，體現了數學運算、數感、符号意識/數學抽象、邏輯推理、幾何直觀、模型思想這些核心素養。其中最突出的是模型思想。在圖形與幾何領域，核心素養的重點是空間觀念。在統計與概率領域，就是數據分析。

因此，在不同領域的大單元教學設計時，首先要考慮對應的核心素養，要讓其在教學實施當中體現出來，能夠讓學生或者課堂更好地滲透。

作者：劉曉玫（首都師範大學教師教育學院教授）

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