本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

秦九韶數學案——随機抽樣統計推理的反問題

作者 : 李興春

作品編号：084

南宋著名數學家秦九韶曾任縣尉、通判、代理知州等官職，據說他在任上，利用數學知識智斷了一起繳納公糧的作弊案。

有一個納糧戶向公倉繳納了1534石米，按規定應繳淨米，但米内難免夾雜谷粒，就要數出米内夾雜的谷粒數，折成相應的淨米補繳入倉。1534石米一粒一粒地數當然不可能，秦九韶利用簡單的随機抽樣方法，取米一撚作為樣本，數了數共254粒，其中谷子28粒，28粒谷子在樣本中所占比例為28/254，28/254約掉公因數等于14/127，由樣本推斷總體，谷子在1534石米的總體中所占的也應該是這個比例，于是用1534乘以14/127，得到約169石的谷數，根據法令折成相應的淨米數補繳入倉。這個方法對于納糧戶來說是基本公正的，所有納糧戶也都按這個方法抽樣統計谷數、米數。

但這一次，秦九韶統計完谷數、米數後，突然把臉一沉，對這個納糧戶說：“你的米不應該隻有這麼多谷子，是你看到公人偷懶，有時候取米樣隻取上層，你也偷奸耍滑，故意多加秕谷，還把秕谷倒入米堆下層。這樣從上層取樣計數得出的谷數，就會比你整堆米夾雜的谷數少。你偷加的秕谷至少也有50石，你全部谷數應該是220石上下。”

這個納糧戶見秦九韶連他偷加的谷數也說準了，知道再也瞞不下去，隻好認錯受罰，補足了淨米數，從此也不敢再作弊了。

秦九韶是怎麼識破這個納糧戶作弊呢？原來是這個納糧戶的一個佃戶向他舉報，佃戶親眼看到納糧戶故意将秕谷混入米堆，秕谷裝滿了50石的籮筐。但這個佃戶素來和納糧戶有隙，他的舉報是否屬實呢？

秦九韶考慮到納糧戶偷加秕谷，隻有在公人偷懶而使得取樣沒有代表性的情況下才可得益，否則他偷加的谷數仍然要被取樣統計出來。于是他親自在上下各層均勻取樣，上層取樣得到約169石的谷數，這應該是米内正常夾雜的谷數；下層取樣得到約220石的谷數。多次抽樣比較後都基本如此，秦九韶斷定佃戶的舉報屬實。因為如果下層這多出來的50石不是另加的，而是米堆裡正常夾雜的，那麼220石的谷數就應該基本均勻地分布于上下各層，不會出現這樣泾渭分明的結果。

這個作弊案事實上是一個随機抽樣統計推理的反問題。随機抽樣統計推理從局部推斷整體，而秦九韶因為佃戶的舉報，已經得知了總的米數和谷數，即1534石米的總體中有谷數220石，全部谷數在總體中所占的比例為220/1534。這樣反過來從整體推斷局部，全部谷數在總體中所占的比例220/1534也應該基本均勻地出現在樣本中，但在米堆上層的樣本中卻是169/1534，顯然就說明了有人為摻雜。

随機抽樣統計推理的反問題依賴于随機抽樣統計推理的正問題的有效性，即随機抽樣統計推理真正做到了随機的抽樣，抽取的樣本有代表性，那麼，從樣本推斷總體是有效的，反過來從總體推斷樣本也是有效的。樣本是總體的一個自相似的“分形”，總體成比例縮小，應該就會與樣本大緻相合；樣本成比例放大，差不多就應該放大成總體。簡單的随機抽樣統計推理其實蘊含着極深刻的分形思想。

随機抽樣統計推理通常是從有限推斷有限，即從有限的局部推斷有限的整體，或從有限的整體推斷有限的局部。還有從有限推斷無限，即從有限的樣本推斷無限的總體，或從無限的總體推斷有限的樣本。也有從無限推斷有限，即從無限的樣本推斷有限的總體，或從有限的總體推斷無限的樣本。這種情況需要有限的總體包含無限的樣本，乍看之下似乎有悖常理，其實數學上的例子很多，較著名的有波蘭裔美國數學家烏拉姆、匈牙利裔美國數學家馮·諾依曼等人發展起來的“蒙特卡羅模拟法”等。語言學上也有相似的例子：名詞前綴的形容詞越多，名詞限定的範圍越小。因此，單獨“宇宙”這個詞可能是無所不包的，如果前面加上許多形容詞，如“可見的宇宙”“肉眼可見的宇宙”“近視的肉眼可見的宇宙”……宇宙所能限定的範圍就會越來越窄，這個詞的長度卻可以越來越長。理論上，這個長度可以是無限長，但即使加了無限長形容詞的宇宙也是屬于單獨一個詞的宇宙之内。如果我們要統計詞彙量來從樣本推斷總體，那麼，隻有兩個字的宇宙是總體，有無限多詞彙量的宇宙反而是隻有兩個字的宇宙的樣本，也就是有限的總體包含了無限的樣本。這個例子其實反映了邏輯概念内涵和外延的反比關系。

以蒙特卡羅模拟法來說，它的一個簡明應用是可以估算不規則圖形的面積，不規則圖形的面積一般很難直接測量，但用有限推斷有限或無限推斷有限的随機抽樣統計推理方法，就可大緻不差地估算出其面積。在不規則圖形外畫一個正方形，将不規則圖形全部包含在正方形中。現在我們随機地向正方形内标出一個個小點，這些小點稱為随機點。最後計算落在正方形的全部随機點數和落在不規則圖形内的随機點數，不規則圖形内的随機點數所占正方形内的全部随機點數的比例，就可視同等于不規則圖形面積在正方形面積内所占的比例；前者是樣本，後者是總體。而正方形的面積很容易直接測量出來，這樣通過不規則圖形内的随機點數、正方形内的全部随機點數和正方形面積三個已知量，利用這個簡單的等式就可求出不規則圖形的面積。不規則圖形内随機點數和正方形内全部随機點數越多，得到的不規則圖形的面積就越精确。

根據著名的大數定律，當不規則圖形内随機點數和正方形内全部随機點數趨向于無窮大時，它們的比率就趨向于真實的不規則圖形面積和正方形圖形面積的比率，也就是樣本将會無窮無盡地成比例放大，而與總體完全重合。由于不規則圖形面積和正方形圖形面積都是有限量，它們的比率當然也是有限量，這樣作為總體是有限的總體；而不規則圖形内随機點數和正方形内全部随機點數趨向于無窮大，它們的比率也趨向于無窮大，這樣作為樣本是無限的樣本，或者準确地說是“潛無限”的樣本。從無限的樣本推斷有限的總體，我們得到的是最精确的結果。

另外還有一種随機抽樣統計推理是從無限推斷無限，即從無限的樣本推斷無限的總體，或從無限的總體推斷無限的樣本。這種情況多半是從離散的無限樣本推斷連續的無限總體，而且可視為是前面有限推斷無限、無限推斷有限甚至有限推斷有限的一種極限推廣形式，這裡就無須專門加以讨論了。

現在我們考慮蒙特卡羅模拟法的反問題，已知不規則圖形面積和正方形面積比率的總體，反過來求不規則圖形内随機點數和正方形内全部随機點數比率的樣本，顯然也是不難求出的。這樣做的用處是可以檢驗随機點的分布是否真正随機，比如我們可以把不規則圖形在正方形内到處移動，如果移動到每一處計算出的不規則圖形内随機點數都相差不大，那麼我們就基本可以斷定正方形内全部随機點是真正随機的。如果相差過大，就像秦九韶清點米堆上下層樣本的谷數區别明顯，那就說明随機點并不真正随機，我們就有理由懷疑不規則圖形内随機點數和正方形内全部随機點數比率的樣本，并不是有代表性的樣本。這樣，當我們又需要用蒙特卡羅模拟法求另一種未知的不規則圖形的面積，我們就最好不要把這個新的不規則圖形放在這個随機點不随機的正方形内，利用沒有代表性的樣本來求新的不規則圖形面積和正方形面積比率的總體，那會使最終結果極不精确。

限制蒙特卡羅模拟法反問題以及所有随機抽樣統計推理反問題應用的地方在于：總體容量大，樣本容量小，通常容易計算樣本而不容易計算總體，或者說，通常總體都是由樣本累加得出的，既然總體都已經算出來了，樣本更是已經算出在先了，還用得着再用總體來反推樣本嗎？就以蒙特卡羅模拟法求不規則圖形面積來說，不規則圖形内随機點數、正方形内全部随機點數和正方形面積三個量都是容易計算出來的，罕有這三個量是未知量而不規則圖形面積是已知量的情況。

但應用受限并不等于完全沒有應用，比如我們要算出兩種溶液的混合均勻程度，兩種溶液在沒有混合之前的量是容易知道的，它們量的比率就是總體，而在混合後的溶液中任取一小部分，再把這部分中的兩種溶液分離開，計算兩種溶液量的比率，就是樣本，如果這個比率與它們在沒有混合之前的量的比率大緻相同，就可斷定是基本混合均勻的。從總體推斷樣本的随機抽樣統計推理反問題就起到了作用。

再舉一個例子：雨滴落下是斷斷續續的，通常我們要在物理上描述雨滴的運動，把它當成連續流體更方便，這樣我們計算出一定時間内的雨量，這個雨量與這段時間的比率是總體，而在這個連續總體中離散的每一滴雨的雨量，我們并不清楚。這就需要從總體推斷樣本，在這總體的一定時間内截取一小段時間，如果這段時間短到隻落下一滴雨，那麼計算這一滴雨的雨量，它與這一小段時間的比率就是一個樣本。如果這個樣本比率基本等于總體比率，我們就從總體推斷出了樣本，也就是從大量作為連續流體的雨量推斷出了離散的一滴雨的雨量。

在社會經濟領域也應該有随機抽樣統計推理反問題的許多用武之地，作為總體的社會經濟統計數據，盡管基本都是從樣本累加彙總得出，但由于信息的不對稱，有時候公衆隻知道總體的社會經濟統計數據而不會知道各個樣本的數據，如果需要知道這些樣本的數據，随機抽樣統計推理反問題就可能派上用場了。

以往我們對随機抽樣統計推理的正問題了解較多，對反問題關注較少。由于随機抽樣統計推理反問題存在廣闊的應用前景，将促使我們加強随機抽樣統計推理反問題的研究。

已發文章>>

001 閱讀《數學的故事》有感

002 我想和數學談場戀愛

003 數學“化錯”中的美

004 讓數學思考成為數學課堂的主旋律

005 盧梭的“錯”？

006 數學教學案例《找次品》

007 基于優化學生數學思維的高效課堂創建——以等腰三角形的判定一課為例

008 從特殊到一般，引導數學思維

009 數學文化融入家庭教育的研究

010 sin 震蕩函數的圖像分析

011 四階幻方的“太極圖”性質

012 無理數的定義和實數理論的建立

013 一個容易被忽視的問題——數學文化

014 “雙減”背景下初中數學學科的合作學習方式探究

015 中學數學德育滲透的方法與路徑

016 《數學的力量》讀後感

017 基于數學文化的單元統整教學設計——以“圓的認識與面積”教學為例

018 有助于數的理解的數字圈環

019 以折疊為例，探究生長型數學教學模式

020 我從事數學科普寫作的經驗與啟示

021 在閱讀中滋長智慧——讀《教育智慧從哪裡來》有感

022 學習數學史 做數學的使者

023 開數學文化之窗 啟數學文化魅力——閱讀《美麗的數學》有感

024 “文學獨白”——數學教學因你而精彩

025 如何用多面體三等分正方體

026 HPM視角下《圓的周長》教學設計

027 被誤解的“勾股定理”

028 好玩的數學

029 幫小青蛙設計一個井

030 萬物的基礎——數學——讀《從一到無窮大》有感

031 讀《孫子算經》雞兔同籠問題有感

032 HPM視角下高中數學多樣化作業的設計

033 攀越高峰的領路人——數學文化

034 我的好兄弟：數學

035 細嗅數學文化之香

036 藤蔓的喜悅

037 物理力學中數學的影子

038 複數外傳

039 函數的曆史和發展

040 數學文化與我

041 數學之趣

042 探索數學知識背後的秘密

043 數學文化和我的數學學習

044 古代算數幾何形體——陽馬與鼈臑

045 數學文化與我的數學學習

046 我與數學文化

047 “形象”的數學

048 站在巨人的肩膀上學習數學

049 從數學文化和個人影響的角度剖析對數的曆史

050 論數學文化

051 我與數學文化

052 正弦定理的源起與應用

053 數學文化融入初中數學教學的實踐與思考

054 給數字愛好者的1個全新的0至9數字思考挑戰及應用問題

055 并不需要的“承重牆”與數學課改中的問題 —— 兼與馬立平博士商榷

056 奇妙的規律

057 生活中的“家常便飯”——數的表示方法

058 讀《黃東坡智慧大講堂——帶你發現數學之美》有感

059 通識教育視角下初中數學思維培養從直觀向抽象過渡的研究

060 讀《古今數學思想》有感

061 為什麼圓的面積的導數等于周長？球的的體積的導數等于其表面積？

062 《奇妙的數學文化》讀後感

063 數學文化視角下《九宮圖的奧秘》教學設計

064 關于畢達哥拉斯定理适用蒙特卡羅方法驗證的探讨

065 遨遊數學星空，體味數學奇妙

066 核心素養下的，數學文化中的美育滲透

067 探尋數學之奇，欣賞數學之美

068 框架思維——讀《數學這樣學就對了》有感

069 從肌肉記憶到《幾何原本》第四公理

070 《數學大世界》讀後感

071 除法才是四則運算的基礎：兼與馬立平博士商榷

072 從“海盜分金”到“囚徒困境”——博弈該如何進行？

073 “0”與“1”的辯證法和數學學習之路

074 感悟數學

075 我的好夥伴：數學

076 一則寓言故事帶來的教學啟發

077 神奇的數學 ——最大公因數、最小公倍數

078 怎樣學好數學

079 “7”真是個神奇的數字

080 《一個定理的誕生：我與菲爾茨獎的一千個日夜》讀後感

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!