y=f(x), (x∈D), x0∈D, x0 Δx∈D

Δy=f(x0 Δx)-f(x0)

若lim(Δx->0)(Δy/Δx)存在，則稱f(x)在x=x0處可導。

極限值稱為f(x)在x=x0處的導數，記為f'(x0)或(dy/dx)|x=x0

例1：求y=x^3在x=2處的導數

令f(x)=x^3

Δy=f(2 Δx)-f(2)=(2 Δx)^3-2^3=12Δx 6Δx^2 Δx^3

lim(Δx->0)(Δy/Δx)=lim(Δx->0)(12 6Δx Δx^2)=12

即f'(2)=12

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Notes：

（1）f'(x0)=lim(Δx->0)((f(x0 Δx)-f(x0))/Δx)

f'(x0)=lim(x->x0)((f(x)-f(x0))/(x-x0))（等價定義）

（2）若f(x)在x=x0可導，則f(x)在x=x0連續

證明：若f(x)在x=x0可導，則f(x)-f(x0)->0

lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]=0

∴lim(x->x0)f(x)=f(x0)

即f(x)在x=x0連續

可導與連續的關系

（3）Δx->0 <=> Δx->0^ && Δx->0^-

例2：

f(x)= {ln(1 2x) x>=0

{e^(x-1) x<0 驗證x=0的可導性

f(0-0)=lim(x->0^-)(e^x-1)=0

f(0)=0

f(0 0)=lim(x->0^ )(ln(1 2x))=0

f(0-0)=f(0)=f(0 0)

所以f(x)在x=0連續

f'-(0)=lim(x->0^-)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=1

f' (0)=lim(x->0^ )[f(x)-f(0)/(x-0)]=2

f'-(0)≠f' (0)，所以f(x)在x=0處不可導

二、常見函數導數

1、f(x)=C （C為常數）求f'(x)

f'(x)=lim(Δx->0)((f(x Δx)-f(x))/Δx)=0

所以(C)'=0

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2、f(x)=X^n 求f'(a)

f'(a)=lim(x->a)[(f(x)-f(a))/(x-a)]

=lim(x->a)(x^n-a^n)/(x-a)

=lim(x->a)[x^(n-1) ax^(n-2) ... a^(n-2)x a^(n-1)]

=na^(n-1)

可得出結論：(x^n)'=nx^(n-1)

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3、f(x)=a^x (a>0且a≠1) 求f'(x)

f'(x)

=lim(Δx->0)[(f(x Δx)-f(x))/Δx]

=lim(Δx->0)[(a^(x Δx)-a^x)/Δx]

=lim(Δx->0)[a^x(a^Δx-1)/Δx]

=a^x*lim(Δx->0)[(e^Δxlna-1)/Δx]

=a^x*lim(Δx->0)[Δxlna/Δx]

=a^x*lna

結論：(a^x)'=a^x*lna

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4、f(x)=loga(x)

(loga(x))'=1/(xlna)

特别地：(lnx)'=1/x

,

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