柯西中值定理的充要條件-tft每日頭條

柯西中值定理的充要條件

生活更新时间:2024-12-15 15:57:46

本文主要是介紹柯西中值定理推導x→a時0/0型的洛必達法則的思路。

柯西中值定理：

如果函數f(x)及F(x)滿足

(1)在閉區間[a，b]上連續；

(2)在開區間(a，b)内可導；

(3)對任一x∈（a，b)，F'(x)≠0，

那麼在(a，b)内至少有一點 ε( a＜ε＜b)，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]＝f'(ε)/F'(ε)

成立。

x→a時，0/0型的洛必達法則：

設

(1)當x→a時，函數f(x)及F(x)都趨于0；

(2)在點a的某去心鄰域内f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；

(3)x→a時 f'(x)/F'(x)的極限存在(或為無窮大)，

那麼

柯西中值定理的充要條件（柯西中值定理洛必達法則）1

柯西中值定理推導上述型式的洛必達法則思路如下：

由于 f(x)/F(x)在x→a時的極限與f(x)和F(x)在x=a處的值無關。我們可以假定f(a)=F(a)=0，再結合上述洛必法則裡的條件(1)和條件(2)可知，f(x)和F(x)在a的某一鄰域内是連續的。設x是這一鄰域内的一點，那麼在以x和a為端點的區間上f(x)和F(x)滿足柯西中值定理的3個條件，因此有

[f(x)-f(a)]/[F(x)-F(a)]＝f'(ε)/F'(ε)

即f(x)/F(x)=f'(ε)/F'(ε) (式1）成立，

其中ε介于x與a之間。當x→a時對式(1)等号兩端求極限，由于x→a時，ε→a，再根據上述洛必達法則裡的條件(3)便得到了想要證明的結論。

以上内容均為個人理解，如有錯誤，歡迎指正。

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