這道中考數學壓軸題内容好長。如果不能很好理解題意，第(3)小題根本就解不了。它應用的是點到圓上最大距離的知識。不過第(1)(2)小題就很簡單，完全就是送分題，為的是中考分數差距不會被拉得太大，這還是挺人性化的。

問題提出：(1)如圖①，△ABC是等邊三角形，AB=12，假設點O是△ABC的内心，那麼OA的長為____;

問題探究： (2)如圖②，在矩形ABCD中，AB=12, AD=18, 如果點P是AD邊上一點，且AP=3, 那麼BC邊上是否存在一點Q，使得線段PQ将矩形ABCD的面積平分？假設存在，求出PQ的長，假設不存在，請說明理由.

(3)某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖③所示. 管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以後，他想隻用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能确保草坪的每個角落都能澆上水，又能節約用水，于是，他讓噴灌龍頭的轉角正好等于∠AMB(即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉到MB，然後再轉回，這樣往複噴灌).同時，再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了. 如圖③，已測出AB=24m, MB=10m, △AMB的面積為96m^2; 過弦AB的中點D作DE⊥AB交AB于點E，又測得DE=8m.

請你根據以上信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至少多少米時，才能實現他的想法？為什麼？(結果保存根号或精确到0.01米)

分析：(1)需要做出三角形的内心O，如下圖。BD是△ABC的角平分線，則三角形AOD是直角三角形，且角OAD等于30度，因此，OA=AD/cos角OAD=AB/(2cos30度)=4倍根号3

第(2)小題其實是“過矩形中心的直線平分矩形”的定理的推導過程。直接用這個定理，不符合出題人的意圖，所以不提倡直接運用。

解：(2)如圖②, 對角線AC交BD于點O，

當PQ經過點O時，PQ平分矩形ABCD.

易證CQ=AP=3，【這裡省略了證明三角形OCQ全等于三角形OAP，由于是解答題，而不是證明題，所以并不必面面俱到】

過P作PD⊥BC于D, 則

PD=AB=12, DQ=BC-BD-CQ=AD-AP-CQ=12，

∴PD=根号2 AB=12根号2.

【第(3)小題給了很多信息，其實有用的隻有最後給出數值的那部分。關鍵是要理解所提問題的數學實質是什麼。它其它要求的是點M到弧AB的最大距離。同時也是點M到弧AB所在的圓的最大距離。根據“點到圓的最大距離過圓心”，解題的關鍵就是要找到這個圓的圓心, 下面用最簡單粗暴的方法，直接指出圓心O】

(3)如圖③, 點O是AB所在圓的圓心，

記OB=OE=rm, 則OD=(r-8)m

(r-8)^2 12^2=r^2, 解得：r=13.【這就是圓的半徑，下面隻要求得OM，就可以得到答案了。】

過M作MF⊥AB于F，連接OM,

MF=2S△AMB/AB=8m, BF=根号(BM^2-MF^2)=6m,

過M作MG//AB交EO的延長線于點G,

則OG=MF-OD=8m-(13m-8m)=3m,

GM=DF=BD-BF=12m-6m=6m,

OM=根号(OG^2 GM^2)=3根号5m,

所以射程至少為：OM r=13 3根号5≈19.71(m).

這樣的題型，多練一練，對中考很有幫助！

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