1．三角形的有關概念

由三條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形，叫做三角形；在三角形中，每兩條邊所組成的角叫做三角形的内角；三角形中内角的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做三角形的外角．

2．三角形的分類

(1)按邊分類： 不等邊三角形、 等腰三角形；其中等腰三角形包括腰和底邊不相等的等腰三角形和等邊三角形.

(2)按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.

3．三角形的三條重要線段

(1)在三角形中，一個内角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線，三角形的三條角平分線一定在三角形的内部，且它們交于一點.

(2)在三角形中，連結一個頂點和它對邊的中點的線段，叫做三角形的中線．三角形的三條中線一定在三角形的内部，且它們交于一點.

(3)從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高．在銳角三角形中，三條高的交點在三角形的内部；在直角三角形中，三條高的交點正好是 直角頂點；在鈍角三角形中，三條高(或所在的直線)相交于三角形的外部一點．

4．三角形的有關性質

(1)三角形的任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差 小于第三邊．

若△ABC的兩邊分别為a、b，則第三邊c的取值範圍是丨a－b丨＜c＜a＋b.

(2)三角形的内角和為180°；三角形的外角和為360°.

(3)①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個内角的和；

②三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的内角；

③直角三角形的兩個銳角互餘.

(4)三角形具有穩定性，即三角形的形狀和大小保持不變．

5．多邊形的有關概念

一般地，由n條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形稱為n邊形，又稱為多邊形；在平面内，如果多邊形的各邊相等，各内角也相等，那麼就稱它為正多邊形；多邊形相鄰的兩邊所組成的角叫做多邊形的内角；多邊形的邊與它鄰邊的延長線所組成的角，叫做多邊形的外角；連結多邊形 不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線．

6．多邊形的有關性質

(1)n邊形的内角和為(n－2)×180°.

n邊形的内角和與邊數有關，當邊數每增加一條時，其内角和就增加180°.

(2)任意多邊形的外角和都為360°.

即多邊形的外角和與邊數無關，恒為360°.

7．用正多邊形鋪設地面的條件

拼接在同一個點的各個正多邊形内角的和恰好等于360°，并能擴展到整個平面；相鄰的正多邊形的邊相等.

►考點一　三角形的有關概念

►考點二　三角形的内角和與外角和

►考點三　三角形的三邊關系

例3　下列長度的各組線段能組成三角形的是( )

A．1 cm, 2 cm, 3cm

B．2 cm, 3 cm, 6cm

C．4 cm, 6 cm, 8cm

D．5 cm, 6 cm, 12cm

【解析】判斷三條線段能否組成三角形，隻需檢驗兩條較短的線段之和是否大于最長線段即可，若大于則能組成，否則不能組成．故答案是：C

►考點四　多邊形的内、外角和

例4　若一個正多邊形的内角和是其外角和的6倍，則這個多邊形的邊數是________．

【解析】解答本題的關鍵是明确多邊形的内角和為(n－2)×180°，外角和為360°.前者與n有關，後者與n無關．

可設這個多邊形的邊數為n，根據題意，得

(n－2)×180°＝6×360°.

解得n＝14，

所以這個多邊形是十四邊形．故填14.

【點評】解有關多邊形的内角和及邊數的問題，通常設邊數為n，然後根據條件列出方程來求解，這是解決此類問題的常用方法之一．

►考點五　等腰三角形的分類讨論問題

例5　一等腰三角形的周長為20 cm，從底邊上的一個頂點引腰的中線，分三角形周長為兩部分，其中一部分比另一部分長2 cm，求腰長．

【點評】解決等腰三角形問題時，由于沒有明确腰和底，所以題目往往分兩種情況讨論，并且分類讨論後，要用三角形三邊關系定理來判斷所給的三邊能否構成三角形，從而避免造成錯解．

►考點六　用正多邊形鋪設地面

例6　一塊美觀的地闆是由四塊邊長相等的正多邊形地闆磚鑲嵌而成，其中3塊分别是正三角形、正方形、正六邊形地闆磚，則另外一塊地闆磚為( )

A．正三角形 B．正方形

C．正六邊形 D．正八邊形

1．三角形的兩邊分别為3、8，則第三邊長可能是( )

A．5 B．6 C．3 D．11

2．在△ABC中，AB＝9，BC＝2，并且AC為奇數，那麼△ABC的周長為 .

3．已知等腰三角形的兩邊長分别為3 cm和4 cm，則其周長為 ．

4．等腰三角形的兩邊長為2 cm和5 cm，則其腰長為 ．

5．已知等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成4∶7兩部分，則這個三角形的腰和底邊的比為 ．

6．已知三角形的兩邊長為4、8，且三角形的周長能被5整除，則第三邊的長度是 ．

7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，則∠BDC的度數為 ．

8．圖①是一個三角形，分别連結這個三角形三邊的中點得到圖②；再分别連結圖②中間小三角形的中點，得到圖③. (若三角形中含有其他三角形則不記入)

(1)圖②有 個三角形；圖③中有 個三角形；

(2)按上面方法繼續下去，第20個圖有 個三角形；

第n個圖中有 個三角形．(用n的代數式表示結論)

9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，

∠B＝30°，∠DAB＝45°.

(1)求∠ADC的度數；

(2)求∠DAC的度數；

(3)求證：DC＝AB.

10．如圖，AD、BC相交于點E，∠1＝∠2，∠3＝∠4.

(1)求∠C、∠D、∠P之間的關系；

(2)已知∠P＝56°，求∠C＋∠D的度數．

11．沒有量角器，你能畫出一個45°的角嗎？小明想出了這樣一個辦法：如圖，作兩條互相垂直的直線OD、OE，點A、B分别是射線OD、OE上的任意一點(不與O點重合)，作∠DAB的平分線AC，AC的反向延長線交∠ABO的平分線于點F.則∠F就是要求作的45°的角．你認為小明的作法有道理嗎？若有道理，請給出理由；若不正确，請說明理由．

鞏固練習參考答案：

1、B

2、20

3、10cm或11cm

4、5cm

5、14∶5

6、8

7、72°

8、（1）5, 9 ；（2）77，(4n－3)

9、解：(1)∵∠DAB＝45°，∠B＝30°，

∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°.

(2)∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°.

∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，

∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.

∵∠DAB＝45°，

∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°.

(3)證明：由(1)、(2)得∠DAC＝∠ADC＝75°，

∴DC＝AC.

∵AB＝AC，

∴DC＝AB.

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