三角形三條角平分線一定交于一點嗎?如果交于一點,這個點叫做三角形的什麼點或者什麼心?
答案是,三角形三條角平分線一定交于一點,這個點叫做三角形的内心,即内接圓的圓心。
這個問題等價于:△ABC中,AD是∠BAC的角平分線,BE是∠ABC的角平分線,AD與BE交于O。連接CO并延長與AB交于F。證明:CF是∠ACB的角平分線。
證明過程很簡單,因為角平分線和線段長度相關的隻有一個性質,那就是:“角平分線上的點到角的兩邊距離相等” !
證明:過O分别做BC、AB、CA的垂線,垂足分别為P、Q、R。
因為AD是∠BAC的角平分線,因此OQ=OR。
因為BE是∠ABC的角平分線,因此OP=OQ。
于是有OP=OR,即CF為∠ACB的角平分線。證畢。
如果以O為圓心,OP長度為半徑做圓,那麼該圓是三角形的内切圓。即三角形三條角平分線的交點是三角形的内心。
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