上期小文中，我們說到可以從相反數的角度理解-（-1）=1。本期咱們先來看看某版教材向量空間與群中零元與負元的定義。
設V是一個集合， 是V上的二元運算（ ：V×V→V是一個映射）。
若存在0∈V，使得對每個v∈V都有v 0=v，則稱0是V中關于 的單位元，既零元。
若對每個v∈V，存在w∈V，使得v w=0，則稱w是v的逆元。将w記為-v。既負元。先證明零元與負元的唯一性（下圖是在向量空間中的證明）。
思路和圖中一樣，設0'是另一個零元，w'是v的另一個負元。則有
0'=0' 0=0
w=w 0=w (v w')=(w v) w'=0 w'=w'
由此可得零元與負元的唯一性。
在自然數中，我們知道數字0，就是加法中的零元。
0 1=1
0 2=2
0 3=3
接着我們思考
1 □=0
2 □'=0
3 □''=0
我們把□定義為-1，既 □:=-1。按照這樣的定義自然有
-1 -（-1）=0
又有
-1 1=0
再根據負元的唯一性，可得
-（-1）=1
但是這樣的定義中小學學生還是會覺得不好理解。我們換個角度思考。因為減法是加法的逆運算。根據上面的加法算式可得
0=1-1
0=2-2
0=3-3
□=0-1
□'=0-2
□''=0-3
我們把 -1:=0-1。也就是把-1定義為0-1。一般地 -a:=0-a。
由此可知
-（-1）=-（0-1）=0-（0-1）=1
也就是說，可以從減法的封閉性來思考，把-1定義為0-1。再運用這個定義來進行推理。可以關注小修哦！
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