數學科普小論文：

談談對方程解的有關認識（彭彤彬）

在學習了代數式及其運算後，它的直接應用就是考慮什麼時候兩個代數式的值相等？從而引出解方程。

解方程在生活、生産、科學及實驗中有大量應用題，此處不多說。

此處隻圍繞人類對方程及其解法的認識曆程作以簡略介紹。

一、一元一次方程及解法

人們在有了整數的加減乘除運算後，就在實際問題中遇到了各種一次方程，并很容易地解出了答案。

如市場有兩件物品，甲物品比乙物品貴3元，且五件甲物品與兩件乙物品總價值一樣，問甲、乙兩件物品各多少錢？

解：設甲物品價x元，則乙物品價x 3元，由已知有：

5x=2（x 3）解得x=2

∴甲物品價2元，乙物品價5元。

一般地，一元一次方程可整理成标準形式：ax b=0（a≠0）

可解得x=-b/a。

可見一元一次方程，有且隻有一個解（或根）。

二、一元二次方程及其解法

在學習了數的乘方、開方運算後，人們就有了多項式、分式、根式等概念。有了這些知識後，我們就可解稍複雜點的一元二次方程了。

一元二次方程的标準形式為：ax^2 bx c=0（a≠0）

系數a、b、c開始為整數或有理數，後為實數，再後可為複數。

在無理數沒出現前，人們隻能解少數特殊的有有理根的一元二次方程。

後出現了無理數後，人們可解實系數一元二次方程在判别式大于等于0的條件下的兩個實數根（或相等或不等）。

一般結論為：

若ax^2 bx c=0（a≠0，a、b、c∈R），△=b^2-4ac，則：

當△=0時，方程有兩相等實根x=-b/（2a）。

當△>0時，方程有兩個不等的實根

x=（-b±sqr（△））/（2a）。

當△<0時，隻能說無實數根。

這個公式的推導方法是配方法，下舉特例示範之。

如解x^2 6x 8=0時

可配方得（x 3）^2=1，

開方得x 3=±1，

∴x=-3±1=-2或-4。

一般形式的公式推導，可仿此進行。

由于在實數範圍内，負數不能開平方，就留下一個缺憾，當判别式△<0時無解。

這個問題一直等到數擴充至複數後才得到解決。可以得到實系數一元二次方程在複數範圍内均有兩解，或為兩實數（或等或不等），或為兩虛數，且它們互為共扼複數。

如x^2 2x 2=0，

配方得：（x 1）^2=-1，

∴x 1=±i

x=-1±i。

至此，實系數一元二次方程求根就徹底解決了。

更一般地，在複數範圍内，人們很容易地證明了複系數一元二次方程有兩個或等或不等的複數根，求根公式類似實系數一元二次方程的求根公式。

至此，才完美地解決了一元二次方程的求根問題。

三、一元三次方程及其解

在人們解決一元二次方程的同時，人們考慮了一元三次方程。對少數特殊的一元三次方程好解，但大多是不易求出準确解的，對一般形式的一元三次方程，人們為了找出求解公式，卻遇到了難題。

經過長時間的探索，數學家們終于找到了方法，下面以實例說明之，一般求根公式推導可仿此進行。

如x^3 3x^2-5x 1=0，

先利用和的立方公式，将方程變為：

（x 1）^3 2（x 1）-2=0

換元s=x 1，得到一個不含二次項的一元三次方程：

s^3 2s-2=0

然後作一個重要的不易想到的換元：s=t a/t，則：

t^3 （3a 2）（t a/t） a^3/t^3-2=0

令3a 2=0，得a=-2/3，

∴t^3-8/（27t^3）-2=0，

27t^6-54t^3-8=0，

可見可求出t值，代入x=t a/t-1=t-2/（3t）-1中可求出x值。

但計算過程是非常麻煩的。

一般地有：

可先将一般形式的一元三次方程ax^3 bx^2 cx d=0，兩邊都除以a将x^3項系數變為1，再利用立方和公式消去x^2項，得到x^3 px q=0形式的方程，然後用變換x=t m/t，選取适當的m值，使方程變成隻含t^6項、t^3項和常數項的可解整式方程，解之即可。

解出結果如下：

可以看出，用這樣方法或用這樣的求根公式來求根，計算太繁瑣，但它是從理論上徹底解決問題的正确方式。

對于特殊一元三次方程我們可用特殊方法解之。

如前例中，事實上，通過觀察知x^3 3x^2-5x 1=0的系數和為0，可知它有一根1，然後将方程左式除以x-1，得到商為一個一元二次式，這個商等于0時為一個一元二次方程，解之可得方程另兩解。

人們在得知一元三次方程有三個根後，可以很容易得到很簡捷的根與系數的關系如下，可在解決有關問題時加以運用。

設ax^3 bx^2 cx d=0三個根為m，n，k，則有

m n k=-b/a

mn nk km=c/a

mnk=-d/a。

四、一元四次方程及其解

也是利用巧妙的變換變形，化成一元三次及一元二次方程來解。

方法見下：

x^4項系數變為1後，再進行如下變形計算：

如x^4 2x^3 2x^2 6x-3=0，

先用配方法消去x^3項，可得：

（x^2 x）^2=-x^2-6x 3

在左式括号内加上y得：

則

（x^2 x y）^2

=-x^2-6x 3 2y（x^2 x） y^2=

（2y-1）x^2 （2y-6）x y^2 3

為使右邊的關于x的二次三項式為完全平方式，隻須

△=（2y-6）^2-4（2y-1）（y^2 3）=0，

可求出一解y=1，

∴（x^2 x 1）^2=（x-2）^2

開方得：x^2 x 1=±（x-2）

就化為一元二次方程，求出根即可。

人們用此法推導出了一元四次方程的求根公式，過于複雜，就不在此寫出。

五、一元五次方程求解公式的探索

人們在尋求中得到了一元一次至一元四次方程的解法并推導出求根公式後，便想循着老方法去尋找一元五次甚至更高次方程的解法與求根公式。

想找各種技巧來進行變換和變形，去将一元五次方程化成較低次方程去解。但衆多數學家努力了很長時間，均沒找到。

這樣，就有的數學家開始懷疑一元五次方程可能沒有一般的求根公式，但無法給出證明。

在這樣的環境下，伽羅瓦（1811年10月25日－1832年5月31日），一個年輕的法國數學家，創立了一門新的數學理論：群環域論。這是高等數學範圍了。在裡面證明了一元五次及更高次方程無求根公式。

這才終結了人們對一元五次及更高次方程的通用解法及求根公式的尋找。

但人們證明了複系數一元n次方程有n個複數根（含不等或相等根）。

你不覺得這是太不可思議的結論嗎？

當然對各種具有一定特點的一元高次方程，人們還是研究了各種解法，去尋求出了它們的根。

六、實系數一元高次方程的實數根的個數判定方法及求法

雖說人們在尋求一元高次方程的求根公式失敗了，但人們在微積分研究函數圖像時，得出了實系數一元高次方程的實數根的個數判定方法及求法。

人們可用導數研究函數的單調性，極值及最值，取值趨勢等性質。

進而得出了在實數範圍内方程的實根存在性定理：

若y=f（x）在[a，b]區間上連續單調，且在端點上的函數值異号即f（a）f（b）<0，則f（x）=0在（a，b）内有唯一實數根。

如何求這個在（a，b）内的實根呢？

人們用二分逼近法。即每次取前一個區間中點值求出對應函數值，看它與左右哪個端點函數值的符合相反，根就應該在左或右的那半個區間内。

每進行一次這樣的計算判定，根所在區間就縮小一半。

當然，若計算中某區間中點函數值等于0，那這個中點值就是所求的根。若總沒有這樣的中點值，就應該一直算下去，從而得到相應根滿足一定精确度的近似值。

顯然，這個方法不僅是對一元高次方程有用，而是對所有滿足條件的方程都适用。

這個過程，在現今計算機的時代，借助各種數學軟件，就可更容易得到實系數一元高次方程的實數根的個數及每個根的相應近似值了。

很顯然，實系數一元高次方程中，奇次方程一定有一個實數根。

七、應該學習的問題：

實系數一元高次方程的虛數根怎麼求？

一元n次方程有n個複數根，如何證明？有初等簡捷證法嗎？

為什麼一元高次方程無求根公式？

八、還有什麼方程方面的問題在理論上人類還沒解決的？應該還有大量的各種猜想沒解決，有待我們去探讨結論并加以證明。

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