更正并緻歉

首先：更正并緻歉。在上一篇文章《橢圓性質彙總》中，有細心讀者發現文中出現兩處錯誤，現聲明更正如下：

1，橢圓直徑性質證明過程更正如下：

2，焦點三角形面積公式更正為：

本人再次對文章編輯過程中出現的錯誤緻歉，希望大家持續關注并積極指正。

上一篇文章已對橢圓性質進行了彙總，本文對高考考點中涉及的雙曲線的部分性質進行彙總。

注：以下僅讨論焦點在x軸上的雙曲線性質。

1.第一定義

平面内與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值為常數2a的動點P的軌迹叫做雙曲線，其中2a<|F1F2|。此為課本上的标準定義，不再詳述。

2.第二定義

平面内到定點F（±c，0）的距離和到定直線l：x=±a²/c的距離之比為常數e=c/a（e>1）的點的軌迹是雙曲線。其中定點F（±c，0）為雙曲線的左右焦點，定直線l：x=±a²/c為雙曲線的左右準線。

對第二定義給出證明：

以右焦點和右準線為例：

上述定義即可作為判定定理也可作為性質定理。

1.雙曲線标準方程

不再詳述。

2.雙曲線參數方程

注：sec為正割函數，secθ=1/cosθ

其中θ為參數，θ的幾何意義如下圖：

以雙曲線實軸和虛軸為直徑分别做圓C1（圖中大圓）、C2（圖中小圓），對雙曲線上任一點M，做x軸垂線，垂足為A'。過A'做圓C1切線，切點為A。過圓C2與x正半軸焦點B做圓C2的切線，與過M并平行于x軸的直線交于B'點。則O、A、B'三點共線，∠AOx即為參數θ。

1.雙曲線切線定理

雙曲線的任意一條切線平分切點所在的焦點三角形頂角。

圖中∠α=∠β，對頂角相等，切線是焦點三角形的一條角平分線。

證明從略。該性質在高考中應用較少，但其揭示了雙曲線的一條光學性質，該性質在高中數學課本上也有提及，即從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射後，其反向延長線在另一個焦點彙聚。

2.雙曲線切線方程

過雙曲線上一點P（x0，y0）的切線方程為：

以下用求導方法給出證明：

上述證明過程用到了隐函數求導，高中範圍不涉及該知識點，有興趣的同學可以嘗試用二次函數判别式推導。

3.雙曲線切點弦方程

過雙曲線外一點，做雙曲線上的兩條切線（如果存在的話），切點為A，B，則過A，B的切點弦方程為：

這裡需要注意，過雙曲線外（或上）一點做雙曲線切線，最多隻可能做兩條切線。具體見下：

4.雙曲線切線存在情況

如圖：雙曲線及漸近線将平面分成ABCDEF六個區域：

1.當P位于A、B區域時，過P可在雙曲線兩支各做一條切線；

2.當P位于C、D區域時，過P可在雙曲線較近的一支做兩條切線；

3.當P位于E、F區域時，過P不能做切線；

4.當P位于雙曲線上時，過P隻可在P點所在支做一條切線；

5.當P位于漸近線上（不含原點）時，過P隻可在雙曲線較近的一支做一條切線；

6.當P位于原點時，過P不能做切線；

具體列表如下：

過雙曲線中心的弦被稱為雙曲線的直徑。實軸是雙曲線最短的直徑，雙曲線直徑可以無限長，故雙曲線沒有最長的直徑。雙曲線直徑所在直線的斜率的絕對值必然小于漸近線斜率的絕對值。

1.雙曲線直徑性質

雙曲線上的點與雙曲線直徑兩端點連線的斜率（如果存在的話）之積是定值，定值為e²-1。

特别的：雙曲線上任意點到實軸兩端點連線斜率之積是定值e²-1。

2.雙曲線直徑長

雙曲線直徑長公式為：

其中k為直徑所在直線斜率。該公式請同學們自行推導。顯然，直徑存在的充要條件是|k|<b/a。

特别的：當k=0時，上式結果為2a，即為實軸；當k趨于±b/a，即漸近線斜率時，上式結果趨于無窮大。

1.焦半徑長

焦半徑長：|PF1|=|ex a|，|PF2|=|ex-a|（F1，F2分别為左右焦點，P點在右支上時，等式右端絕對值内取正，P點在左支上時取負）。

通過準線定義證明，過程略。

2.焦半徑性質

以短焦半徑為直徑的圓與以實軸為直徑的圓外切，以長焦半徑為直徑的圓與以實軸為直徑的圓内切。

以P點在右支上舉例進行證明：

證：設以PF2為直徑的圓的圓心為O2，則圓O2半徑為r2=(ex-a)/2，

以長軸為直徑的圓的圓心為坐标原點O，圓O半徑為r=a，

兩圓心距離|OO2|=(ex a)/2=r r2，

故以PF2為直徑的圓與以長軸為直徑的圓外切。

同理可證，以PF1為直徑的圓與以長軸為直徑的圓内切。

3.焦點弦

焦點弦長公式為：

其中k為焦點弦所在直線斜率。該公式請同學們自行推導。

當|k|<b/a時，焦點在焦點弦延長線上，當|k|>b/a時，焦點在焦點弦上，當|k|=b/a時，焦點弦不存在（或無限長）

特别的：當k=0時，上式結果為2a，即為實軸；當k趨于無窮大時，上式結果即為通徑長：2b^2/a

4.焦點三角形

焦點三角形面積公式：

證明從略

雙曲線兩頂點A1，A2和與y軸平行的直線交雙曲線的兩動點P1,P2，直線A1P1與A2P2的交點軌迹為等軸橢圓。反之亦然。

1.判别式

直線方程y=kx m與雙曲線方程聯立後的，關于x的二次方程的判别式：

注：雙曲線在聯立方程時，首先要讨論b²-a²k²是否為0，如果為0，即直線斜率與漸近線斜率一緻，則聯立後關于x的方程為一次方程，不存在判别式問題。

2.一般弦長公式

雙曲線一般弦長公式：

上述公式推導過程從略，顯然，當m=0時，公式退化為直徑公式；m=±kc，即直線過焦點時，公式退化為焦點弦公式；當|k|=b/a時，弦長不存在（或無限長）。

文|高見遠，轉載請注明出處。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!