無圖題的分類讨論，你得先有圖

八年級數學下冊平行四邊形章節中，繪制平行四邊形是家常便飯，不加限制地繪制當然很容易，難的是繪制出符合題目條件的平行四邊形。

幾何題中分類讨論思想是重要數學思想之一，本章中一些無圖題，則正好考驗了學生的繪圖能力。幾何繪圖，需要将文字描述轉化成幾何圖形，簡單講就是審題。

題目

已知平行四邊形ABCD中，AB=15，AC=13，AE為BC邊上的高，且AE=12，則平行四邊形ABCD的面積為_____________.

解析：這是一道典型的無圖題，因此分析題目中的條件，繪制出規範的圖形是解題的前提，也是關鍵，就本題而言，成功繪制出正确的圖形，那麼正确結果就在前方不遠處了。

“平行四邊形ABCD”，告訴我們四個頂點順序依次為A、B、C、D，于是AB是它的一條邊，而AC則是它的一條對角線，AE為BC邊上的高，即過點A向對邊BC作垂線段，垂足為E，請注意點A，邊AB經過它，對角線AC同樣經過它，BC邊上的高也經過它，如何畫出來呢？

AE作為“自帶直角”的線段，和AB這條邊，再加上BC邊的一部分，正好可以圍成一個直角三角形，并且它有兩條邊已知，第三條邊一定可求，問題是哪條是斜邊？

前面分析過點E是垂足，即△ABE中點E為直角頂點，則對邊AB一定是斜邊，所以Rt△ABE中，AB=15為斜邊，AE=12為直角邊，則剩下一條直角邊可用勾股定理求得，BE=9.

一個直角三角形，三邊分别是9，12，15，是不是很眼熟？對嘛！不就是勾股數3，4，5的三倍嘛！這個三角形太容易畫了，因此先畫它！

接下來畫點C，它在哪？我們隻有AC=13這個條件描述它，在Rt△ABE中，AC能“放”在哪裡？顯然AE是點A到直線BE最短的距離，而AC肯定比AE長，卻又比斜邊AB短，所以隻好把它暫放在BE邊上，如下圖：

現在再來看平行四邊形ABCD，已經畫出了三個頂點，于是最後一個頂點就好畫了，如下圖：

圖形一旦給出，剩下的問題就簡單多了，在Rt△ACE中，求得CE=5，然後BC=BE-CE=4，而平行四邊形的高AE=12，于是結果求得面積為48；

其實在剛才作點C的過程中，不妨眼界放開闊一些，點C一定要在邊BE上，不能在其延長線上嗎？如下圖：

于是我們又可以得到一種新的圖形，與前一種略有不同，如下圖：

在這個圖形中，同樣可求得CE=5，不同的是這次BC=BE CE=14，因此面積為168.至此，兩種情況分别讨論完畢。

解題反思

解完題之後回顧，發現隻要能正确認識到Rt△ABE始終未變，而平行四邊形的形狀會發生改變，那麼在繪圖時，就自然會考慮先畫不變的量，再畫變化的量，否則平行四邊形一個把握不好，畫出的圖不夠規範，運氣好一點接近，運氣不好根本看不出來直角三角形，到頭來害的是自己。

作圖不能完全憑運氣，傳統繪圖習慣會帶來好處，但更多的是思維慣勢，許多無圖題便是利用這種慣勢設置障礙，因此平時的學習中，規範作圖的确非常重要。

直到熟練到一定程度，規範作圖深入骨髓，那就可以不用再作圖，因為在腦子裡作圖，比起紙上，更顯高效。

那時無圖勝有圖。

雪浪紙

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