牛頓-萊布尼茲公式告訴了我們求積分的方法，但不是所有的函數都是可積的，其中蘇聯數學家切比雪夫在這方面做了深入的研究，例如像sinx/x和（1 x^4）^1/2就沒有初等表達式（或稱之為反導數），這不僅意味着不能對sinx/x和（1 x^4）^1/2應用牛頓-萊布尼茲公式，而是意味着根本不存在這樣的初等表達式。
但數學家是非常聰明的，當不能用牛頓-萊布尼茲求定積分時，我們轉向本篇要叙述的梯形法來解答這類的數值問題。以及這些方法的實際應用價值，給你不一樣的數學視野。本篇相當簡單，你會切身體會它的使用價值。
當我們必須對f積分而又求不出它的一個可用的反導數（初等原函數）時，我們就分隔積分區間，在每個子區間上用十分拟合的多項式代替f，積分多項式，并且把結果相加以逼近f的積分，我們從給出梯形的直線段開始。
像下圖所顯示的那樣，如果把（a,b）分割為長度皆為h=（b-a）/n的n個子區間，f在（a,b）上的圖像在每個子區間上可用直線段逼近。
因此在曲線和x軸之間的區域可用梯形組逼近，每個梯形的面積是水平方向的“高度”和垂直方向的兩個“底”的平均值的乘積，我們把梯形面積相加，x軸上方的面積看做正；而x軸下方的面積看做負的：
其中
梯形法說的是：用T估計f從a到b的積分
所以總結：梯形法為逼近
我們用
各y在f的分點是
的函數值，其中h=（b-a）/n
我們使用n=4時的梯形法估計如下定積分的值
分隔（1,2）成四個等長的子區間，再求x^2在每個分點的值
在梯形法中利用這些y值，n=4和h=(2-1)/4=1/4,我們有
積分的精确值是
可以發現它們相對發誤差值是：（2.34375-7/3）/(7/3)=0.00446
我們可以預見梯形法給出例子中積分過剩的估計，因為抛物線從上看是凹的，逼近線段位于曲線上方，每個梯形就給出比對應曲線下的帶形稍大的面積。
我們再來看一個有關平均值得實例：
觀察者從中午到下午每隔一小時測量一次室外溫度，那麼12小時周期内的平均溫度是多少呢？
我們考察一個連續函數的平均值，需要用到如下簡單的微積分中值定理
但上述是函數在間隔為1個單位的離散時刻的值，就無法使用中值定理，所以運用梯形法就很方便
用梯形法逼近微積分中值定理，我們得到
最終得到平均溫度是65度
下一篇将讨論抛物線來，看它和梯形法有什麼不同
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