在中小學階段，和變換内容有關的主要載體是圖形，既包括幾何中的圖形，也包括有關函數圖象。這些知識是學習和滲透變換的載體，同時變換也是學習這些内容的一種工具，有助于幫助學生探索認識圖形，更好的把握圖形的特征及本質。在“圖形的變化（一）”的講座中，我們就平移變換和旋轉變換進行了進一步的研究。在“圖形的變化（二）”這部分内容中，我們将就軸對稱和相似變換進行進一步的思考。

一、對“軸對稱和相似變換”數學知識的深層次理解

（一）“軸對稱和相似變換”的知識結構、框架

圖 1

軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

軸對稱：把一個圖形沿一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼這兩個圖形關于這條直線對稱，兩個圖形中的對應點叫做關于這條直線的對稱點，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形關于直線對稱也稱軸對稱。

軸對稱的基本特征是“連結任意一組對應點的線段都被對稱軸垂直平分”。顯然，确定軸對稱變換的關鍵在于确定對稱軸。構成軸對稱的圖形可以是一個，通常就叫做軸對稱圖形；也可以是兩個，通常叫做這兩個圖形關于某條直線對稱。成軸對稱的兩個圖形，任何一個都可以看作是由另一個圖形經過軸對稱變換後得到的。一個軸對稱圖形，也可以看作以它的一半為基礎，經過軸對稱變換而成的。

相似變換：由一個圖形到另一個圖形，在改變的過程中保持形狀不變（大小、方向和位置可變），這樣的圖形改變叫做圖形的相似變換。

圖形相似變換的性質：圖形的相似變換不改變圖形中每一個角的大小；圖形相似變換後對應線段都擴大（或縮小）相同的倍數（這個數叫相似比）；經相似變換的圖形與原圖形的面積之比等于相似比的平方。

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行或在一條直線上，那麼這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。位似圖形的對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。

把一個幾何圖形變換成與之位似的圖形叫做位似變換。位似變換的性質：位似多邊形的對應邊平行或共線。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會随着位似中心的位變而位變。物理中的透鏡成像就是一種位似變換，位似中心為光心。位似變換應用極為廣泛，特别是可以證明三點共線等問題。

注意相似與位似之間的差異和

1．位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；

2．兩個位似圖形的位似中心有一個或兩個（偶數邊正多邊形時，比如：兩個正方形如果位似，則有兩個位似中心）；

3．兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側；

4．位似比就是相似比，利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似；

5．平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形位似。

在“軸對稱和相似變換”的教學過程中，需要關注變換學習的過程。比如：相似這部分内容在學習過程中主要應該關注類比和轉化的思想方法的滲透。學生學習相似的知識，是在前面學習全等知識的基礎上的發展， 從全等到相似，是一個從特殊到一般的過程，也是學生認識上的一個飛躍。在教學時，應注意充分利用學生在前面學到的有關知識以及研究問題的方法，注意加強相似和全等之間的區别和聯系，加強類比和對比。

（二）在“軸對稱和相似變換”的教學過程中，強調在複雜的理解活動中的作圖和畫圖過程

對于軸對稱的作圖和畫圖，主要考查能夠按要求作出簡單平面圖形經過一次或幾次軸對稱後的圖形，作圖過程同樣包含兩層意思：點的對稱和圖形整體的對稱。

下面展示的流程就是軸對稱變換的基本操作過程。

我們以特殊的位似圖形作圖的基本操作過程為例加以說明，相似圖形作圖在這裡不再詳述。

1. 首先确定位似中心，位似中心的位置可随意選擇；

2. 确定原圖形的關鍵點，如四邊形有四個關鍵點，即它的四個頂點；

3. 确定位似比，根據位似比的取值，可以判斷是将一個圖形放大還是縮小；

4. 符合要求的圖形不惟一，因為所作的圖形與所确定的位似中心的位置有關，并且同一個位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形，最好做兩個。

考查軸對稱性質的問題情境常常為紙片的折疊，而且着重探索基本圖形，如等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱等的相關性質。

注：《“國培計劃（2016）”——安徽省鄉村教師網絡研修項目》學習材料，版權歸原作者，若有侵權，敬請聯系，及時删除。

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