正多邊形與圓的關系學習主要是了解正多邊形與圓的内接和外切的關系。其中涉及多邊形的邊長，圓的半徑，邊心距，中心角，周長和面積，這些都是正多邊形有關計算的重要的量。這部分學習的重點在多邊形的性質掌握的前提下，與圓相結合，形成内接四邊形和外切四邊形兩種形式，其難點主要在于圓的内接多邊形和内接圓的應用。

一、學習目标

1.掌握圓内接多邊形的性質；

2.掌握内接圓的性質；

3.掌握圓内接多邊形和内接圓的應用.

二、知識點總結與梳理

1.三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形__________的交點，它是三角形内切圓的圓心，在三角形内部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形__________的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形内部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．

2.三角形的内切圓、外接圓

三角形的内切圓：對比三角形的外接圓來學習三角形的内切圓

三角形的外接圓：經過三角形三個頂點的圓叫三角形的外接圓

三角形外接圓的圓心叫三角形的外心

三角形的外心到三角形______________相等

三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點

三角形的内切圓：與三角形三邊都相切的圓叫三角形的内切圓

三角形内切圓的圓心叫三角形的内心

三角形的内心到_________的距離相等

三角形的内心是三角形三角平分線的交點

3.圓内接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的内接四邊形，圓内接四邊形對角________，外角等于内對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形______________．

4.正多邊形與圓

在正多邊形的有關計算中，如果分别以αn、an、rn、Rn、Pn和Sn表示正n(n≥3,n為整數)邊形的中心角、邊長、邊心距、半徑、周長和面積，則有：

注意兩點：

1.構造直角三角形（弦心距、邊長的一半、半徑組成的）求線段之間的關系等；

2.準确記憶相關公式。 （公式的記憶千萬不要死記硬背，根據上圖當中條件相對應于每個公式進行理解性的記憶，結合圖形更容易牢記。）

三、經典例題解析

1. 利用三角形的内心求角度

【例1】如圖，點O是△ABC的内切圓的圓心，若∠BAC=80°，則∠BOC=（ ）

A．130° B．100° C．50° D．65°

【解析】此題解題的關鍵是弄清三角形内切圓的圓心是三角形内角平分線的交點．

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2. 三角形外接圓問題

【例2】正三角形的外接圓半徑是R，則它的邊長是（ ）

【解析】正三角形的外接圓邊長是半徑的根号3倍，圓心與三角形兩個頂點的連線是一個頂角為120°的等腰三角形，可證倍數關系，帶入即可。

3.内切、外接、外切問題的綜合

【例3】正方形ABCD的四個頂點分别在⊙O上，點P在劣弧CD上不同于點C得到任意一點，則∠BPC的度數是（ ）

【解析】圓的内接正方形，内心外心重合，可求∠BOC的度數，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半，∠BPC是∠BOC的一半即可。

4.内切圓綜合題

【例4】已知：如圖，△ABC三邊BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圓O的半徑長為r．求△ABC的面積S．

【解析】連接圓心和切點，把三角形分成三個小三角形，而且有現成的底和高就可以求出每個小三角形的面積，加起來可得大三角形的面積。

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5. 正多邊形和圓

【例5】正六邊形兩條對邊之間的距離是2，則它的邊長是（ ）

【解析】正六邊形是正多邊形中最重要的多邊形，要注意正六邊形的一些特殊性質。△ABF是含120°角的等腰三角形，以△ABF為研究對象即可求。

練習9. 求證圓的外切正多邊形的面積等于其周長與圓的半徑的積的一半.

【解析】外切正多邊形可分成與邊數相同個數的等腰三角形,其面積之和為正多邊形的面積,而每個小三角形的面積恰是邊長與圓半徑積的一半,故題易證. 圓的外切（或内接）正多邊形的周長.面積的計算要通過所分成的n個等腰三角形進行，這也是由複雜到簡單的一種轉化，象四邊形的問題一樣，正n邊形的問題首先應轉化為三角形的問題，轉化是解決數學問題的關鍵。

寫在最後:正多邊形與圓的關系主要分為兩種，一種是内圓的内接多邊形和外接多邊形，隻要掌握這兩個重點的性質和特點，那麼在接下來的實際應用當中隻要能夠在實際的問題當中剝離出來，那麼解決這部分的問題還是很簡單的，特别是在記憶常見的計算公式時，一定要結合圖形的特點，這樣記起來知識點才能更加的牢固。

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