下期會更新抛物線中的阿基米德三角形應用篇

這雖然是一個老知識，但内容和圓錐曲線中的切線切點弦問題以及極點極線問題都有關系，通過該篇内容可以将這三塊内容串在一起互相印證輔助理解，閱讀之前建議先閱讀以下鍊接：

思維訓練37.抛物線中的切線問題

圓錐曲線中的雙切線問題整理

圓錐曲線中與極點極線相關的基礎知識

答疑2022年全國乙卷圓錐曲線大題中的極點極線相關知識

至于為什麼叫阿基米德三角形就不再叙述了，這個三角形也并非隻能應用在抛物線中，橢圓和雙曲線也可使用，但由于其中涉及切線以及二元求導，所以出題時通常以抛物線為主，而且以函數形式的抛物線x²=2py為主，下文中的結論也均以這種形式表述。

阿基米德三角形即在圓錐曲線外取一點P，從該點作圓錐曲線的兩條切線，設切點為A,B,研究的對象就是△PAB，如果按照極點極線的角度分析，則AB所在直線就是點P對應的極線，所以如果P點為定點，則AB所在直線為定直線，若AB内有一點Q，根據配極原理，P點的極線經過點Q，則點Q對應的極線也經過點P，所以若AB過定點Q時，點P的軌迹(直線)可直接寫出，若用高中切線以及切點弦的思想去理解，裡面會用到方程的思想，如果不熟悉，還是建議閱讀上述鍊接1，下面給出阿基米德三角形中常用常見的結論。

性質1中切線PA,PB方程的證明在上面第一條鍊接中，考試時無需證明直接用即可。

注意上述性質2中點P坐标的求法，在下面的性質中會多次用到，關于N點處的切線和AB平行這條結論可以用導數理解，因為M,N兩點的橫坐标相同，若将抛物線x²=2py向上平移，則M點會在平移之後的抛物線上，平移前後的兩條抛物線形态相同，導數也相同，所以M,N兩點處的導數值相同，

上述性質3中是用切點弦方程的思想證明的，點P的極線是AB，Q在AB上，所以Q點對應的極線經過點P，因此确定的Q點對應确定的過點P的直線方程，反之亦然，下面的性質4就不再解釋了，注意點和線的轉化關系即可。

這是很早之前某年的高考真題，證明兩角相等可利用向量夾角餘弦值相等。

結合性質3，若知道AB内恒過的定點即可求出點P所在的軌迹，這條軌迹并不一定與x軸平行，隻有明确知道AB恒過的定點在y軸上才能說明P點所在的直線為與y軸垂直的直線，性質7中，若AB長度為定值，可将AB看作是過y軸上某定點的直線，根據點與直線的相關内容，可知點P到AB距離最大時，P點與該定點的連線與AB所在直線垂直，此時的情況為AB斜率為零。

第8中是之前提到的焦點弦問題中的結論，若動直線AB過焦點，則A,B兩點處的切線相交于準線上，且AP⊥BP，以AB為直徑的圓與準線相切切點為P點，三角形PAB底邊長為AB，AB最小時為通徑，對應的高即為焦準距，所以最小值為p²，結論7和8中的兩個面積最值最好用幾何圖形去理解，不要去硬記。

關于阿基米德三角形還有其他不常見也不常用的結論，有興趣可以自己去查，這裡就不給出了，阿基米德三角形與高考的結合一般以動點定點動直線定直線切點弦等角度出發，本身難度不大，下期給出阿基米德三角形的應用部分。

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