#頭條創作挑戰賽#

熱播劇《天才基本法》中，考研保過班的王老師給女主林朝夕出了一道不定積分難題，想讓女主知難而退。其中要運用到一種神奇的解不定積分方法，叫做“消積分項法”。這種方法會給學習者一種神奇的感覺，似乎上帝早已為你安排好了一切。

無獨有偶，老黃在高數教材中也碰到了這樣的一個不定積分問題，同樣要運用到消積分項的方法。兩道題湊到一塊，就一起給大家分享一下，同時學一學這種神奇的求積分方法。

先來看王老師給女主出的積分題，如下：

求∫(1 x-1/x)*e^(x 1/x)dx.

求不定積分的最常用方法是換元法和分部積分法，結合積分和差的線性法則。如果隻用這三種方法，想解決這個不定積分極其困難。雖然這樣，我們還是要從這三種方法中去找到突破口。

解：原積分=∫e^(x 1/x)dx ∫x(1-1/x^2 )e^(x 1/x)dx. 【這就是積分和差的線性法則的運用。∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.】

=∫e^(x 1/x)dx ∫xde^(x 1/x)【這一步是對兩個不定積分湊微分：∫f′(x)dx=∫df(x). 為分部積分法做準備】

=∫e^(x 1/x)dx xe^(x 1/x)-∫e^(x 1/x)dx【對第二個不定積分運用了分部積分法：∫f(x)dx=xf(x)-∫xdf(x). 仔細觀察，你會驚奇的發現，式子中的兩個不定積分是互為相反的，可以消掉，就得到了最後的結果了】

=xe^(x 1/x) C.

神不神奇，驚不驚喜！下面再看教材的題目。

求∫[ln(lnx) 1/lnx]dx.

這個不定積分乍一看，吓了一跳，有點小複雜。不過有自然對數出現的不定積分，我們通常會使用第一換元積分法。下面探究它的解法：

解：令t=lnx, 則x=e^t, dx=de^t.

原積分= ∫[lnt 1/t]de^t【第一換元積分法】

= ∫lntde^t ∫1/t*de^t【線性法則】

=e^t*lnt-∫e^t*dlnt ∫1/t*de^t【前面的不定積分運用了分部積分法】

=e^t*lnt-∫1/t*de^t ∫1/t*de^t【前面的不定積分微分部分求出來後，就可以發現，兩個不定積分是互為相反的，可以直接消掉，從而得到最後的結果】

=e^t*lnt C=xln(lnx) C.

相信你一定會喜歡這種解法的。不過你也一定會有疑問：那什麼時候可以用這種“消積分項”的方法啊。這還真不好直接看出來。你隻有運用最基本的積分方法，摸着石頭過河。隻要你所用的方法合理，在最關鍵的時候，上帝就會幫你一把的。

結果我們的女主也沒有令粉絲們失望，當衆解出了這個不定積分。你想成為草莓世界的學霸林朝夕嗎？如果你想像男女主那樣聰明，就一定不要排斥這樣的學習探究哦。

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