前面我們已經了解了連分數的形式和規律,得到無理數的連分數可以不斷的延伸到無窮遠。
自然常數連分數有無窮多項

根号3連分數形式 有無窮多項

那三角函數的連分數式怎麼表示呢?特别是正切函數的連分式是證明π是無理數的重要來源。
首先從前面的文章我們已經知道了三角函數泰勒級數形式
正弦泰勒級數

餘弦泰勒級數

正切函數公式

正弦比上餘弦,提取一個X

我們利用這種模式的等價關系


加上和減去同一個函數

交換函數的位置

合并得到

整理就得到第一個分式

提取X^2,消去分子分母上的公因式

又轉換成:

同理加上和減去同一個函數

重新排列順序

合并得到

整理就得到第二個連分式

繼續重複上面的原理:

得到第三個分式

最終得到正切函數的連分式

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