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三角函數的标準式與一般式

生活更新时间:2024-11-10 12:43:06

前面我們已經了解了連分數的形式和規律，得到無理數的連分數可以不斷的延伸到無窮遠。

自然常數連分數有無窮多項

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）1

根号3連分數形式有無窮多項

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）2

那三角函數的連分數式怎麼表示呢？特别是正切函數的連分式是證明π是無理數的重要來源。

首先從前面的文章我們已經知道了三角函數泰勒級數形式

正弦泰勒級數

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）3

餘弦泰勒級數

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）4

正切函數公式

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）5

正弦比上餘弦，提取一個X

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）6

我們利用這種模式的等價關系

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）7

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）8

加上和減去同一個函數

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）9

交換函數的位置

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）10

合并得到

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）11

整理就得到第一個分式

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）12

提取X^2,消去分子分母上的公因式

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）13

又轉換成：

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）14

同理加上和減去同一個函數

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）15

重新排列順序

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）16

合并得到

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）17

整理就得到第二個連分式

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）18

繼續重複上面的原理：

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）19

得到第三個分式

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）20

最終得到正切函數的連分式

三角函數的标準式與一般式（三角函數的連分式）21

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