以三角形、四邊形為背景的動态幾何問題均以動态幾何的形式來考查三角形、四邊形的性質，

判定，全等三角形、相似三角形的性質及判定，本節将對此類問題歸類如下：

一、在平面直角坐标系中探究

【例題1】已知直線 l 經過 A（6,0）和 B（0,12）兩點，且與直線 y = x 交于點 C.

（1）求直線 l 的表達式；

（2）若點 P（x，0）在線段 OA 上運動，過點 P 作 l 的平行線交直線 y = x 于點 D，

① 求 △PCD 的面積 S 與 x 的函數關系式；

② S 有最大值嗎？若有，求出當 S 最大時 x 的值 .

【解析】

（1）設直線 l 的表達式為 y = kx b , 用待定系數法求出 k , b 的值即可；

（2）

① 點 C 是直線 l 與 y = x 的交點，從而可求得點 C 的坐标 .

根據三角形的面積公式及結合平行的性質，可求得 S 與 x 的函數關系式；

② 根據二次函數的性質，即可得到 S 的最大值 .

解：

（1）設直線 l 的表達式為 y = kx b ,

由 A（6,0）和 B（0,12），得

∴ 直線 l 的表達式為 y = -2x 12 .

（2）

①

∴ 點 C 的坐标為（4,4），

∴ S△COP = 1/2 x ▪ 4 = 2x .

∵ PD∥直線 l ,

∴ CD/OC = AP/OA .

∵ CD/OC = ( 1/2 h × CD ) / ( 1/2 h × OC ) = S / S△COP，

∴ S / S△COP = AP / OA , 即 S / 2x = （6 - x）/ 6 ,

∴ △PCD 的面積 S 與 x 的函數關系式為 S = -1/3 x^2 2x .

② ∵ S = -1/3 （x - 3）^2 3 ,

∴ 當 S 最大時，x = 3 .

【例題2】如圖，在直角坐标系中，矩形 OABC 的頂點 A , C 均在坐标軸上，且 OA = 4 ,

OC = 3 , 動點 M 從點 A 出發，以每秒 1 個單位長度的速度，沿 AO 向終點 O 移動；

動點 N 從點 C 出發沿 CB 向終點 B 以同樣的速度移動，當兩個動點運動了 x 秒（0 < x < 4）時，

過點 N 作 NP⊥BC 交 OB 于點 P，連接 MP .

（1） 直接寫出點 B 的坐标，并求出點 P 的坐标（用含 x 的式子表示）；

（2）當 x 為何值時，△OMP 的面積最大？并求出最大值 .

解：

（1）在矩形 OABC 中，OA = 4 , OC = 3 ,

∴ B 點的坐标為（4,3）.

如圖，延長 NP 交 OA 于點 G，則 PG∥AB，OG = CN = x .

∵ PG∥AB，

∴ △OPG∽△OBA .

∴ PG / BA = OG / OA , 即 PG / 3 = x / 4 ,

解得 PG = 3/4 x .

∴ 點 P 的坐标為（x , 3/4 x）.

（2）設 △OMP 的面積為 S .

在 △OMP 中，OM = 4 - x , OM 邊上的高為 3/4 x，

∴ S 與 x 之間的函數表達式為

配方，得

∴ 當 x = 2 時，S 有最大值，最大值為 3/2 .

二、在幾何圖形中探究

【例題3】如圖，在矩形 ABCD 中，AB = 3 米，BC = 4 米，動點 P 以 2 米/秒的速度從點 A 出發，

沿 AC 向點 C 移動，同時動點 Q 以 1 米/秒的速度從點 C 出發，沿 CB 向點 B 移動，

設 P , Q 兩點同時移動的時間為 t 秒（0 < t < 2.5）.

（1）當 t 為何值時，PQ∥AB；

（2）設四邊形 ABQP 的面積為 y , 當 t 為何值時，y 的值最小？并求出這個最小值 .

【解析】

（1）首先由勾股定理求得 AC = 5 米，然後根據 AB∥PQ 可得到 PC / AC = QC / BC ,

從而得到關于 t 的方程，從而可解得 t 的值；

（2）過點 P 作 PE⊥BC，由 PE∥AB 可得到 PC / AC = PE / AB ,

從而可求得 PE = 3 - 6/5 t , 然後根據 y = S△ABC - S△PQC 列出 t 與 y 的函數關系式，

最後利用配方法求得最小值即可 .

解：

（1）在 Rt△ABC 中，

由題意，得 PC = AC - AP = 5 - 2t , QC = t .

如圖 ①，∵ AB∥PQ , ∴ △CPQ∽△CAB .

∴ PC / AC = QC / BC , 即 （5 - 2t）/ 5 = t / 4 ,

解得 t = 20/13 .

（2）如圖 ②，過點 P 作 PE⊥BC 于點 E .

由 （1）知，PC = 5 - 2t , QC = t ,

∵ PE∥AB，

∴ △CPE∽△CAB .

∴ PC / AC = PE / AB , 即 （5 - 2t）/ 5 = PE / 3 .

∴ PE = 3 - 6/5 t .

∴ 當 t = 5/4 時，y 的值最小，最小值為 81/16 .

【例題4】如圖，在 △ABC 中，∠C = 60°，BC = 4，AC = 2√3，點 P 在 BC 邊上運動，

PD∥AB，交 AC 于 D . 設 BP 的長為 x , △APD 的面積為 y .

（1）求 AD 的長（用含 x 的代數式表示）；

（2）求 y 與 x 之間的函數關系式，并回答當 x 取何值時，y 的值最大？最大值是多少？

（3）是否存在這樣的點 P，使得 △ADP 的面積是 △ABP 面積的 2/3 ？若存在，請求出 BP 的長；

若不存在，請說明理由 .

解：

（1）∵ PD∥AB，

∴ AD / AC = BP / BC .

∵ BC = 4 , AC = 2√3 , BP = x ,

∴ AD / 2√3 = x / 4 ,

∴ AD = √3/2 x .

（2）過點 P 作 PE⊥AC 于 E .

∵ sin∠ACB = PE / PC , ∠C = 60°，

∴ PE = PC × sin60° = √3/2（4 - x ）.

∴ y 與 x 之間的函數關系式為

∴ 當 x = 2 時，y 的值最大，最大值是 3/2 .

（3）存在這樣的點 P .

∵ △ADP 與 △ABP 等高不等底，

∴ S△ADP / S△ABP = DP / AB .

∵ △ADP 的面積是 △ABP 面積的 2/3 ,

∴ S△ADP / S△ABP = 2/3 ，

∴ DP / AB = 2/3 .

∵ PD∥AB，

∴ △CDP∽△CAB .

∴ DP / AB = CP / CB ,

∴ CP / CB = 2/3 .

∴ （4 - x）/ 4 = 2/3 ,

∴ x = 4/3 ,

∴ BP = 4/3 .

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