目錄

1 指數函數

2 數列和級數

3 幂級數Power series

4 某個附近的線性逼近

5 泰勒多項式

6 泰勒定理

7 泰勒級數和麥克勞林級數

1 指數函數

指數函數是重要的基本初等函數之一。一般地，y=a^x函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是 R 。

a>1時，則指數函數單調遞增；若0<a<1，則為單調遞減。

2 數列和級數

一個數列是數a1,a2,a3,…,an,…的有序列。

無窮級數是數的和：a1 a2 a3 …… an …

兩者都有收斂到極限的概念，但求法和含義不一樣。

如調和級數1 1/2 1/3 1/4 1/5 …發散，盡管級數的項趨于零。

3 幂級數Power series

如果f在a附近的斜率接近是常數，則線性逼近效果好。然而如果f在a附近的曲率大，則切線可能不是好的逼近。為修正這種情況，我們通過在線性多項式上加一項來構造二次項逼近。記這個新二次多項式為

5 泰勒多項式

6 泰勒定理

設f在包含a的開區間I上有直到n 1階的連續導數。對I内的所有x，

7 泰勒級數和麥克勞林級數

8 總結

8.1 理解泰勒級數一定要理解幂函數(x-a)^n或x^a。

8.2 對于泰勒級數中的(x-a)^n。x必須是在a附近很小的範圍内取值，如果x-a的取值為-1<x-a<1，則(x-a)^n的值是同n單調遞減的。

8.3 對于麥克勞林級數中的x^n。x必須是在0附近很小的範圍内取值，如果x的取值為-1<x<1，則x^n的值是同n單調遞減的。

8.4 如你想求一個函數在1.997或2.003處的值，你就可以設置中心為2，則x-2就是一個介于-1和1之間的很小的值。

8.5 如想求√(18)的值，可以設f(x)=√x，選擇中心為16。

8.6 需要注意的是，n階導數除了是正數外，有可能是負數或0。

8.7 對于一個函數在某點a附近(也就是x-a)的近似求法，可以轉換為函數在點a的值 Σ函數在點a處的n階微分。在我們的教科學中，有n階導數、n階積分，沒有n階微分一說，在這裡，n階微分可能理解為：

8.8 如是兩個函數在某點的值相等，且在某點的n階導數相等（暗含n階微分相等），那兩個函數在該點附近的值是近似的。

－End－

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